Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

30
С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
УДК 62−505. 3
С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ ПО МЕТОДУ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием метода обратных задач динамики. Представлены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: мостовой кран, метод обратных задач динамики.
Точное ручное позиционирование груза при перемещении мостовым краном затруднено вследствие его раскачивания как в процессе перемещения, так и при остановке. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью перевода захвата с грузом в заданное положение. В работах [1, 2] исследована возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза. Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет требование обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач.
При допущениях о постоянстве длины троса подвески груза во время движения, малости угловых отклонений подвеса от вертикали, неизменности массы груза уравнения Лагран-жа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [1]:
(M + m) s — ml0 = F,
-s + 10 = - g 0,
где M, m — масса тележки и груза- s — горизонтальная координата крана- 0 — угловое отклонение подвеса- l = const — длина подвеса- F — сила, управляющая положением тележки крана.
Приняв в качестве переменных вектора состояния x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx/dt, x3 = s/l, x4 = dxi/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему уравнений модели объекта в виде [2]:
x = Ax+Би, (1)
где x = [xi ], X = [x ], A = [aj — матрица (44). Элементы матрицы А, кроме a12 = 1, a21 = -а,
a34 = 1, a4i = -с, равны нулю- Б = [0 Ь/итах 0 Ь/итах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, и = ишах^/[1(т + M)] - безразмерное управление,
i = V4- j = 1Я
Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (to) = [0000] в конечное xT (tf) = 00sf 0 при ограничении на управление |итах|& lt-0,75.
В настоящей статье представлен вариант решения задачи управления мостовым краном с помощью алгоритма на основе обратных задач динамики [3].
В тех случаях, когда требуется обеспечить точный приход системы в заданную точку фазового пространства, один из вариантов решения проблемы — сформулировать ее как обратную задачу динамики. Тогда можно синтезировать алгоритм терминального управления в замкнутой форме методом прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения [4].
В рамках такого подхода целесообразно рассмотреть соответствующую модели (1) систему из двух уравнений Лагранжа 2-го рода, первое из которых, записанное относительно угла отклонения подвеса груза от вертикали, является независимым и приводится к виду
Х1 + ах1 = и.
Можно предположить, что фазовая траектория Х (г), на которой целевой функционал принимает минимальное значение, является непрерывной функцией независимой переменной. Согласно теореме К. Вейерштрасса о приближении, любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой заданной точностью. Тогда она может быть сколь угодно точно аппроксимирована полиномом
к-1
ч — I С 1=0
так, что норма разности Х — Хк будет меньше любого заданного малого числа в при всех
г с
0 г0
. При этом заданная точность аппроксимации в однозначно определяет минимальное число членов к аппроксимирующего полинома. Если решается задача оптимизации, о точности приближения к экстремали можно, например, судить по скорости изменения функционала, которая вблизи экстремума стремится к нулю.
Минимальное время прихода в заданную фазовую точку х (0 = [0 0 0] при поставленных условиях было получено при решении задачи максимального быстродействия [2]. Таким образом, возможно получить «оптимальное& quot- решение задачи уже за одно приближение, если воспользоваться значением времени 0 из решения задачи по принципу максимума. В этом случае начальное приближение Х0 оптимальной фазовой траектории Х разыскивается в виде полинома с минимально возможным числом членов, обеспечивающим лишь решение краевой задачи.
Согласно работам [3, 4], выходная функция задается в виде
Х1(& lt-) = Е 0 С (& lt- - & lt-0).
Использование начальных условий дает значения произвольных постоянных С0 = 0, С1 = 0.
Значение горизонтальной координаты тележки (и соответственно точки прихода груза) Х3 определяется последовательным интегрированием соответствующих уравнений из (1) при переменном верхнем пределе
г г
Х4(& lt-) = | (-СХ1 + и) ёт и Хз (г) = | Х4ёт. г0 г0
В результате получается (при Дг = г — & lt-0)
Х3 = С1Дг + С2Дг2 + С3Дг3 + С4Дг4 + С5 Дг5 + (а — с)
С2 Дг4 С3 Дг5 С4Дг6 С5Дг7 2 ±- + -4- + • 5
12 20 30 42
Использование граничных условий на правом конце интервала (в точке прихода) позволяет вычислить коэффициенты С1 (г — 1,5) по формулам
= 420 = 1680 = 2100 = 840
2 ---., С3 -----, С4 --~Г, С5 ---- ^ / ,
(а-с)Дг4 у (а-с)Дг5 У (а-с)Дг6 (а-с)Дг7
где Дг — г0 — г0.
Значение управления вычисляется согласно соотношению [4]:
и — С2 (2 + аД2) + С3 (бДг + аДг3) + С4 (12Дг2 + аДг4) + С5 (20Дг3 + аДг5). (2)
На рис. 1 приведен результат вычислений по приведенному выше алгоритму при интервале времени управления гт^ - 3,52 с, равном интервалу оптимизации в задаче максимального быстродействия [2]. Можно отметить высокую точность выполнения краевых условий в точке прихода. Обращает на себя внимание сглаженно-ступенчатая форма полученной функции управления. При
32
С. А. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
этом качественный характер динамики вектора состояния согласуется с его оптимальной динамикой [2]. Однако при условии быстродействия системы управление, получаемое в рамках такого подхода, обладает существенным недостатком: оно не удовлетворяет ограничению |ишах|& lt-0,75: ишах = 2,732, а итп = - 2,827. Это обстоятельство при ограничении затрат на управление объекта или по иным причинам может затруднить и даже исключить применение выработанного закона управления. С другой стороны, очевидно, что гладкие функции управления облегчают их практическую реализацию. Рассчитано, что при увеличении времени прихода в заданную точку фазового состояния наблюдается уменьшение предельных значений управляющего воздействия: приемлемая величина предельных отклонений управления достигается при tf = 4,91 с. В этом случае имеем = - 0,749, т. е. выполняется условие |ишах|& lt-0,75.
x1, x2, x3,
ишах = 0,731 и ишт
t, с
Х4, и 2
1
0 -1 -2
-3
Рис. 1
На рис. 2 приведены графики изменения фазовых переменных и управления для случая tf = 4,91 с. Видно, что в процессе движения отклонения всех контролируемых параметров от значений, соответствующих равновесному положению в исходной и конечной точках, уменьшились до 50% от их значений, зафиксированных при движении в режиме максимального быстродействия [2]. Следовательно, постановка задачи об определении управления, исключая оптимизацию в режиме максимального быстродействия, как обратной задачи динамики позволяет обеспечить приход системы в заданное положение более плавно с минимальными перегрузками.
Хъ ^ ^
Х4, и
1,5
0,5
-0,5
-1
Рис. 2
Таким образом, в работе приведено решение задачи перемещения груза мостовым краном по методу обратных задач динамики. Показано, что разработанный алгоритм позволяет обеспечить приход системы в заданное положение с минимальными перегрузками.
1
0
список литературы
1. Troch I. Parametrisierung — Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik. AT. 1990. Bd 38, N 6. S. 230−236.
2. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное перемещение груза мостовым краном // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 5. С. 56−65.
3. Батенко А. П. Оптимизация терминальных управлений методом постепенного улучшения // Техническая кибернетика. 1980. № 5. С. 185−192.
4. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. проф., преп., науч. раб., инж. и асп. СПбГАСУ. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. Ч. I. С. 63−65.
Сергей Александрович Кабанов
Евгений Николаевич Никулин
Борис Эдуардович Якушев
Дарья Борисовна Якушева
Сведения об авторах
д-р техн. наук, профессор- Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ& quot- им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обработки информации и управления, Санкт-Петербург- E-mail: kaba-sa@mail. ru
д-р техн. наук, профессор- Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ& quot- им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств поражения и боеприпасов, Санкт-Петербург- E-mail: enikulin@onixmail. ru канд. техн. наук, доцент- Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра теоретической механики- E-mail: yakushev. spb@mail. ru
аспирант- Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра информационных систем- E-mail: dariayakusheva@gmail. com
Рекомендована кафедрой
систем обработки информации и управления
Поступила в редакцию 25. 11. 10 г.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой