Точки либрации в пространстве бинарной системы, стабилизированной во внешнем ортогональном магнитном поле

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

П. В. Воронин P. V. Voronin
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ БИНАРНОЙ СИСТЕМЫ, СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ ВО ВНЕШНЕМ ОРТОГОНАЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
EQUILIBRIUM POINTS IN SPACE OF BINARY SYSTEM STABILIZED IN AN EXTERNAL ORTHOGONAL MAGNETIC FIELD
МОУ «Дворец творчества детей и молодежи Красноармейского района г. Волгограда»
E-mail: dvorec1@rambler. ru
Формулируется трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского взаимодействия во внешнем ортогональном магнитном поле- рассматриваются точки либрации малых электрически заряженных частиц, находящихся в пространстве бинарной системы.
The three-dimensional limited task of three bodies in conditions of charging interaction in an external orthogonal magnetic field is formulated- the equilibrium points of small charged particles which are taking place in space of binary system are discussed.
Введение
Предыдущие исследования автора были посвящены решению ограниченной задачи трех тел в условиях наличия кулоновского, радиационного и гравитационного взаимодействий частиц [1], без учета внешних электромагнитных полей.
Между тем, в системах формирования потока частиц присутствуют внешние электростатические и магнитостатические поля. В связи с этим, как с практической, так и с теоретической точек зрения, интересной представляется формулировка задачи трех тел в условиях наличия внешнего электромагнитного поля, приводящего к существенным изменениям параметров движения частиц.
В настоящей работе закладываются основы ограниченной задачи трех тел во внешнем магнитном поле в условиях кулоновского взаимодействия частиц. Эта задача в общем случае является существенно более сложной в аналитическом плане по сравнению с ограниченной задачей трех тел в отсутствии внешнего магнитного поля, поэтому первоначально рассмотрим простейший вариант ограниченной задачи трех тел во внешнем ортогональном магнитном поле, когда вектор магнитной индукции последнего коллинеарен вектору угловой скорости вращения бинарной системы.
Дифференциальные уравнения движения малой частицы в пространстве бинарной системы
Рассмотрим пару взаимодействующих между собой электрически заряженных частиц, обращающихся по концентрическим круговым орбитам во внешнем магнитном поле, вектор магнитной индукции которого B ортогонален плоскости орбит частиц. Пусть масса и заряд более массивной частицы равны соответственно М2 и Q2, а менее массивной частицы — со-
Рис. i. Бинарная система во внешнем ортогональном магнитном поле
ответственно Мі и Ql. Расстояние между частицами положим равным С. Будем считать, что вектор угловой скорости вращения такой бинарной системы равен ©.
Свяжем с рассматриваемой бинарной системой вращающуюся (синодическую) систему координат, оси которой направлены так, как это показано на рис. 1.
Как видно, абсцисса менее массивной («первой») частицы в синодической координат определяется выражением
юц + д (c)х
х2 =-
ю (1 -ц) + (1 — д)
С.
ю + ю
(5)
X
Угловая скорость вращения бинарной системы ю при этом удовлетворяет уравнению
ю|^юц + дю^ ][ю (1 -ц) + юх (1 — д)]
г (1 — д)(со + (c)х)
(М1 + М2)3
1
4пвг
(6)
х1 _-
-С.
ю + ю
(1)
X
где ю = |ш | - угловая скорость вращения системы-
----- (2)
М1 + М2
массовый параметр бинарной системы-
д=- (3)
й + О2
зарядовый параметр бинарной системы, а ю^
— проекция на ось Z вектора обобщенной циклотронной частоты бинарной системы
й + °2
юх =¦
В.
(4)
. ^^1 + 2
Выражение же для абсциссы более массивной («второй») частицы имеет вид
Гд1 =¦
1
_ г1
-3& quot- Г1 _ 3
4пєо г г
ю[юц + дЮх][ю (1 -Ц)
ю
(а+а2)2
(1 — д)]
(1 + °2)
Величина, стоящая в (6) в фигурных скобках, как нетрудно понять, должна быть положительной.
Предположим, что в поле рассматриваемой бинарной системы находится частица, масса М и заряд О которой являются много меньшими масс и зарядов частиц, образующих бинарную систему (в этом смысле данная частица может быть названа малой).
Найдем силы, действующие на эту частицу в поле бинарной системы. Если малая частица находится в точке с координатами (х, у, г), то ее радиус-вектор относительно первой частицы Г1 ={х — Х1, у, г}. При этом со стороны первой
частицы на малую частицу действует сила Кулона, выражение для которой, с учетом (6), может быть представлено в виде:
-(-^1 + М2) х
д (1 — д)(ю + юх)
(& amp- + а2)/(М1 + М2)
ю[юц + д^х
][ш (1 -ц)+юх (1 — д)]
д (ю + ®х)
М_
ю[юц + д^х ][ю (1 -ц)+юх (1 — д)]
ц ((Х& gt- +®х)
М,
где г _ |г11 _у[(х — Х1)2 +2 + г2 — расстояние
между малой и первой частицами-
о_
(1 + Ш2)/(М1 + М2)
(7)
том электромагнитной редукции массы первой частицы [1]. В таком случае можно написать:
Ед1 =-фА, 1(1 -ц) -Г3 й 3ю2М, (8)
Г1
отношение удельного заряда малой частицы к удельному заряду бинарной системы.
Обратим внимание на тот факт, что величи-
Ц О М 2 на -О =-= А, 1, т. е. является коэффициен-
д МО2 Ь
где
Ф_
[шц+дюх][ю (1 -ц)+юх (1 -д)]_ д (1 -д)
ц (1 -ц)ю (о + юх)
ц (1 -ц)
и, в свою очередь,
г
г
у =
|^юц + Дох
][ш (1 -ц) + шх (1- д)] д (1 — д) ю (ю + ®х)
ц+юх 1 -ц, юх
д ю ю д —
1+
ю
(10)
х
ю
Из (6) непосредственно следует, что для бинарной системы, находящейся в состоянии стационарного движения, величина у & gt- 0. Как нетрудно показать, условие у & gt- 0 выполняется в следующих четырех случаях: д & lt- 0-
— є (-да--1) ю
и
д & gt- 1- Юх є
ю
(-да--1)
и
ц& lt- д & lt- 1-
ю
х
(1 -ц
єІ-да--1- ю і 1 — д
і
(
1 • -.
и -1 ?
і д)
(11)
0 & lt- д & lt- ц-
юх (ц'- (1 — ц'- (12)
-^є -да- и -1 —
ю 1 д) і 1- д)
Г2 — -ФЦ^й3ю2М, г2
(13)
где Г2 = {х — х-1, у, г} - радиус-вектор малой частицы относительно второй частицы-
г2 = |г21 = V (х — х2)2 + У2 +
г — расстояние мей й, А Я щ
жду малой второй частицами- А2 =-------------
коэффициент электромагнитной редукции массы второй частицы.
Вводя в рассмотрение величины
А*1 =фА, 1 = -д (--- у1 =---д Оу (14)
ц (1 — ц)
1-Ц
и Я*2 — фА = - д (1 д) УА = --^У, (15)
ц (1 — Ц) Ц
которые можно назвать эффективными коэффициентами электромагнитной редукции масс первой и второй частиц соответственно- выражения для сил Кулона (8) и (13) можно представить в виде
Гд1 = -А*1 (1 -& gt-3)М 3 (16)
Г1
Гд2 =-^*2 Щ-3. (17)
г2
и
Кроме того, на малую частицу со стороны внешнего магнитного поля действует сила Лоренца
= Я^В2 {х, У,0} + ЯБг |^У,-^, о| =
= Ш& gt-хю{х, у, 0}М + Оох& lt-!^У, 01 М. (18)
х 1 ' х[ а г, а г }
Обратим внимание на то обстоятельство, что
ЯМ
=%в,
ю*х — юх^
Два первых случая соответствуют бинарной системе, образованной разноименно заряженными частицами, а два вторых — одноименно.
Выражение для силы Кулона, действующей на малую частицу со стороны второй частицы, можно представить в виде
ю ^= %1 + %2 в ______
х М1 + М2 (1 + %)/(М1 + М2) М
(19)
где В2 — проекция вектора В на ось ^ Таким образом, величина
(20)
— суть проекция на ось Z вектора
ю*х = % В, (21)
1 М
который можно назвать вектором циклотронной частоты малой частицы.
Неинерциальность синодической системы координат приводит также к необходимости учета действующих на малую частицу силы Кориолиса:
г-=Ч ЗУ •- ?-о}М (22)
и центробежной силы инерции
Гцб -ю2 {х, У, 0}М. (23)
Перейдя к безразмерному времени Ї - ю Ґ
и безразмерным координатам и расстояниям X _ У _ 2 ~Г| Г2
х=-- у --- 2 — -- г --- г2 --,
й й й 1 й й
приходим к следующим выражениям для действующих на малую частицу сил:
г. (1 — ц) М {х х У 2} 2 й
Гд1 --Ал------ ---{х-хьУ, 2} й —
?д1~ - а*1------------3-
Г1
Гд2 = -А*2 -^{X — Х2, У, 2}2й- г2
Гл — ю *х {Х, у, 0}М ю2 й + со *
З у З X
Гкор = 2{^У,-Зх, 0}Мю2й —
Гцб — {-X, у, 0}Мю2й.
где х1 —
ц + дсю х 1 + со х
х2 = ¦
(1 -ц)+(1 -д) & lt-5 х
1 + СО х
ю
ю х =& quot-
х
ю
ю *х -& quot-
х
. (24)
ю ю
Суммарная сила, действующая на малую частицу, при этом определяется выражением
Г = Г і + Г -і + Г +Г
1 Ад1^ Ад2 ^ Ал Акор
Гцб =
ё2.X ё2у ё22
а?2 'а?2 'а?2
~-Мю2й| (2 + ю*х)-У + (1 + ю*х)
х —
л /1 ч-Х — Х1. .X — Х2
А*1(1 -ц)-----------------------------3-+ А*2ц--3-
і Г1 г2

(2 + ю *х) — + (1 + ю *х —
З і
А*1(1 -ц)^УТ + А*2ц^УГ Г1 Г2 ,
л
А*1(1 -ц)_3 + А*2ц_Г Г1 г2
}
В дальнейшем будем работать с безразмерными координатами, временем и частотами, опустив с целью упрощения записей тильды в уравнении движения малой частицы. При этом система дифференциальных динамических уравнений, описывающих движение последней, может быть записана в виде:
З х
— (2 + ю*х) — - (1 + ю*х) х -Ал1(1 — ц) Х 3Х1 — А*2ц Х 3Х2
+(2+ю*х)--(ь
ю
а і2 ЗІу
З і2 і2
З 2 _ 1 П 2 Л 2
2 = А*1(1 ц) 3 А*2ц 3.
А і Г1 г2
Г1 г2
У, А «У.
,)у -А*1(1 -ц)-^- А*2ц-3
Г13 Г
(25)
Умножая первое уравнение системы (27) на
Аналитическое получение интегральных уравнений движения малого объекта в процессе решения данной системы дифференциальных динамических уравнений не представляется возможным, однако следует отметить система (25) имеет тем складывая их, п°лучим интеграл. Действительно, рассмотрим функцию
~& lt-І Х & lt-іу Й 2
2-, второе — на 2-----------, третье — на 2-, а за-
ё і З і З і
ТТҐ ч Л Х2 + У2 1 -ц ц
и (Х, у, 2) — (1 + ю*х)--------------+ А*1------+ а*2 -.
4 к'- 2 г Г2
(26)
С помощью этой функции систему (25) можно представить в виде:
ё2 Х / у ди
-(2 + ю*. I- -------------
2
З і
ё2 У
*х'- а і дх'
З і2
а22 ди
Ь + И Х = ди
(2+ш*х)-7=-ду-
(27)
а і
2
д2
. ах а2х «ау а2у. а2 а22
2-----------+ 2-------- + 2---------
а і а і2 а і а і2 а і а і2
_а_ а і
=2 — ёх+2 ди Зу+2 ди її=2аи
дх, а і ду, а і дг, а і а і
Интегрируя, находим
(а х '-2 (а у '-2 (а 2 '-2
— 2и + С,
где С — постоянная интегрирования.
Левая часть последнего уравнения представляет собой квадрат скорости малой части-
цы V в синодической системе координат, и мы имеем
V2 =(1 + ю*х)(х2 + у2) +
+2А:
*1& quot-
1 — -
-2А,
*2 '
-
— С. (28)
Г1 г2
Это соотношение — суть модифицированный интеграл Якоби. Постоянная С — постоянная Якоби. При v = 0 (28) задает различные поверхности нулевой скорости малой частицы, характеризующиеся определенными значениями постоянной Якоби С
(1 + ю*х)х + у | + 2А*1------ + 2^*2 — = С. (29)
Очевидно, по одну сторону от этих поверхностей скорость частицы будет действительна, и хотя мы ничего не можем сказать о траектории движении частицы, но, по крайней мере, можно утверждать, что в указанной области пространства ее регулярное движение возможно.
Точки либрации малой частицы в пространстве бинарной системы
Точки пространства, в которых ускорение и скорость малой частицы, определяемые в синодической системе координат, одновременно обращаются в «0», т. е. выполняются условия
а х, а у, а г
а г, а г, а г
= 0-
а2 х
а2 у
а2 г
(30)
а г2 а г2 а Н
= 0.
носят название точек либрации. Их положения определяются посредством решения системы динамических уравнений (25) с учетом условий (30):
х-
х-
¦ю,
¦ю*
л «ч х — х1 х — х2
) х — А* 1 (1 --)--А*2--3^ = 0-
Г1 г2
у л. у
'-) у — А* 1 (1 --)^ -А*2^-3 = 0- '-'- Г13 г3
(3 1)
л л /1 Ч х — х1. х — х2 «
(1 + ю*х)х — Аи (1 --)-- А*2--^ = 0-
г2
(1 + ю*х) — А#1(1 --)^ - А*2--3 = 0.
(32)
Можно показать, что решение этой системы уравнений приводит к выводу о том, что расстояния КТТЛ, соответствующей малой частице, от первой и второй частиц определяются выражениями
г1 = 3
г2 = 3
(1 --)(1 + юх)
*1
(1 + ю*х)((1 --) + юх (1 -д) '
-(1 + юх)
*2
(1 + ю*х) (- + юх д)
(33)
(34)
Поскольку
а_=3 А*11 --
— + юх д
«ч «У (1 + ЮХ) & gt-0,
(1 --) + (1 -д)юх]
то, учитывая, что у & gt- 0, можно констатировать тот факт, что необходимым условием существования в пространстве бинарной системы КТТЛ является условие
(35)
ЮХ & lt--1.
С учетом (11) и (12) можно подтвердить, что в пространстве системы существуют КТТЛ, если выполняется одно из условий Гд (1 — д) & lt- 0-
[юх & lt--1,
или
0 & lt- д & lt- 1-
юх & lt- -тах
(36)
(37)
г г
А*1(1- -)_3 + А*2-~3 = 0.
Г1 г2
Точки либрации имеют различные области локализации:
а) компланарные тригональные точки либрации (КТТЛ) [2] - локализуются в плоскости орбит частиц, образующих бинарную систему (плоскости ХОУ). Их положение определяется в ходе решения системы уравнений
б) ортопланарные тригональные точки либрации (ОТТЛ) [2] - локализуются в плоскости, перпендикулярной плоскости орбит частиц, образующих бинарную систему, и проходящей через данные частицы (плоскости ХОХ). Их положение определяется в ходе решения системы уравнений
/.. х — х1. х — х2 «
(1 + ю*х)х — А*1(1 --)-- А*2--= 0-
г2
А*1(1 — -)_3 + А*2-~3 = 0. Г1 г2
Можно показать, что решение этой системы уравнений приводит к выводу о том, что расстояния ОТТЛ, соответствующей малой частице, от первой и второй частиц определяются выражениями
*1
1 -ц
(1 + ю*х)х '
*2
ц
(1
ю

) х '
(39)
(40)
где х — абсцисса ОТТЛ. Поскольку
п=3 А*11 -ц 3-
1 —
& gt- 0.
г2 V а*2 — д
то, можно констатировать тот факт, что ОТТЛ могут существовать лишь в пространстве бинарной системы, образованной разноименными зарядами.
С помощью (11) легко показать, что ОТТЛ в пространстве бинарной системы существуют при выполнении условия
д (1 — д) & lt- 0-
(Л Л \
: (-да--1)
и
— тах
1-ц ц|. (1 -ц ц
--• - І- - тіп1 --• -
1 — д д) ^ 1 — д д
Это условие, однако, как следует из (11), не исключает возможности выполнения условия (35), поэтому можно заключить, что при выполнении условия (36) в пространстве бинарной системы существуют как КТТЛ, так и ОТТЛ-
в) коллинеарные точки либрации (КТЛ) [2] -локализуются на оси, содержащей частицы, образующие бинарную систему (ось Х). Абсциссы КТЛ могут быть определены в ходе решения первого уравнения системы (31):
/.. х — х1. х — х2 «
(1 + ю*х)х — А*1(1 --)-- А*2--т^ = 0.
'-1
г 3 г2
Рассмотрим в качестве примера распределение точек либрации в пространстве системы с — = 0,6- д = 2- ю^=-1,5, соответствующих
малой частице с О = 4. Структуры сечений координатными плоскостями поверхностей нулевой скорости данной малой частицы приведены на рис. 2. На рисунке визуализируются пять точек либрации малой частицы: коллинеарная точка либрации Ь, пара компланарных триго-нальных точек либрации ?4 и ?5, а также пара ортопланарных тригональных точек либрации Ь6 и.
Рис. 2. Структуры сечений координатными плоскостями поверхностей нулевой скорости малой частицы с О = 4, находящейся в пространстве бинарной системы с ц — 0,6-
д — 2 — юх = -1,5 Выводы
Как мы видим, при наличии внешнего ортогонального магнитного поля в пространстве бинарной системы могут существовать как ор-топланарные, так и компланарные тригональ-ные точки либрации. В условиях кулоновского взаимодействия это обстоятельство является новым, поскольку при отсутствии внешнего магнитного поля в пространстве бинарной системы могут существовать лишь ортопланарные тригональные точки либрации [1].
а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воронин, П. В. Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия: автореф. дис. … канд. физ. -мат. наук / П. В. Воронин. — Волгоград, 2007. — 19 с.
2. Воронин, П. В. Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия / П. В. Воронин // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. науч. ст. № 6 (32) / ВолгГТУ. -Волгоград, 2007. — С. 12−18 (Сер. Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь. Вып. 1).

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой