Теплицевы операторы и вопросы факторизации в гельдеровских пространствах аналитических функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 53
ТЕПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ И ВОПРОСЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ГЕЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ф.А. Шамоян
Работа поддержана РФФИ (проект № 13−01−97 508) и Министерства Образования и Науки
РФ (проект № 1704. 2014)
В работе получена полная характеризация теплицевых операторов, действующих в гельдеровских пространствах голоморфных функций в единичном шаре «-мерного комплексного пространства
С & quot-, а также в пространствах голоморфных в односвязных областях функций с квазиконформной границей.
Ключевые слова: оператор теплица, кривая Карлесона, единичный шар, факторизация, класс Гельдера.
1. Введение. Работа посвящена исследованию ограниченности теплицевых операторов в гельдеровских пространствах аналитических функций.
Теплицевы операторы играют существенную роль не только в комплексном и функциональном анализе, но и в прикладной математике, математической экономике, в физике (см. [1], [2], [3]). В начале 70-х годов прошлого столетия автор этой статьи (см. [4], [5]) установил, что теплицевы операторы имеют важные приложения также в теории факторизации аналитических функций.
Приведем определение теплицевого оператора. Пусть X — некоторое функциональное пространство, У — его замкнутое подпространство, ф — мультипликатор пространства X, Р — проектор, отображающий X на У. Тогда теплицевым оператором с символом ф называется следующий линейный оператор Г (/) = Р (ф/), / е X. Перейдем к изложению основных результатов работы.
Пусть Вп — единичный шар в п — мерном комплексном пространстве & quot-, 8п-единичная сфера. Обозначим через — вероятностную меру Лебега на 5и,
инвариантную относительно вращения сферы 5и, а через dv (^) — вероятностную меру Лебега на В.
п
Пусть далее Н (Вп) — множество всех голоморфных функций в Вп, Нр (Вп), 0 & lt- р & lt- - пространство Харди в Ви (см. 6])
Теплицевым оператором на Н 1(Вп) с символом Н е Е° (5и) является следующий интегральный оператор
Г, (/)(г) = •/ ^ Н ^ ^
Н (/)() • (1 -& lt-г, о)"-
5п
где г = ()е Вп,? = (???)е 5& quot-, & lt- г, 0 = Х С
к=1
Обозначим также через Ла (Ви), 0 & lt-а<- 1 гельдеровский класс аналитических функций в В, то есть класс функций /, таких что для произвольных грг2 е В и 8п выполняется оценка
/ () — / (Z2)|& lt- С (/)| - Z2 Г
1 *Здесь и в дальнейшем С = с (…) будем обозначать произвольную константу, значение которой не играет особой роли.
В пространстве Л& quot-а вводится естественная норма
/ лг в,) = / - + 8ЦР
-1,-2еВп I- - -
г
1 — 2
Легко видеть, что Л^ = Л^ (Бп) относительно указанной нормы превращается в банаховую алгебру.
Определение 1. Пусть J е Н-(Бп). Говорят, что 3 является внутренней функцией, если 13 (^)| = 1, почти всюду на, относительно меры.
Построению внутренних функций в Вп и изучению их основных свойств посвящены работы А. Б. Александрова (см. [7], [8])
Определение 2. Пусть заданы внутренние функции 31 и 32. Скажем, что 31
делит 32 если е Н- (ВИ).
Определение 3. Говорят, что функцияеН1 (Ви) делится на внутреннюю функцию 3, если ^^ е Н1 (Ви).
Отметим, что в одномерном случае вопросы деления на внутренние функций в подклассах класса Р. Неванлинны играет существенную роль в многих вопросах комплексного и гармонического анализа (см. [9], [10]).
В первой части работы мы получим полное описание тех к е Г- (), для которых
теплицев оператор с символом к является ограниченным оператором в пространствах типа
Ла (В) ¦ Во второй части мы исследуем аналогичные вопросы в односвязных областях
О, а? 1 с квазиконформной границей.
2. Теплицевы операторы в классах типа Гельдера аналитических в шаре функций.
Пусть С С — функция типа модуля непрерывности, то есть Сд (()& gt- 0,
г / ш (t)
Г е Я+ = 10, ±) монотонно растущая функция на, при этом С (0) = 0 и — не
возрастает на. Пусть далее СА (Вп) = // (Ви) П? и). Обозначим через Ла следующий класс функций
Ла = {/ е С, (В,): ш/ (3)& lt- с (/)ш (*)} где ш (^) — модуль непрерывности функции/ в Вп ¦ Введем в Ла — норму
V (О — / (-)|
/ Ла = / -+Р 1 \
Ла — ЛеВп [ С (С — -)
Ясно, что если С (*) = Iг, то Лаа = Лаа, 0 & lt- Г & lt- 1
Г-^Ум & lt- со (5), 0 & lt-5<- 2.
J ц
Определение 4. Скажем, что функция типа модуля непрерывности О
5
удовлетворяет условию А. Зигмунда, если
0 и
Основными результатами этого параграфа является доказательство следующего утверждения.
Теорема 1. Пусть к является граничным значением некоторой плюригармонической функции из класса Харди И1 (Ви). Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Т — действует в пространстве Ла (В
, 2
2)
1
И (?)(& lt--. X)) & lt-1о (С)
и+2
о (1 -| -)
& lt- -72 , — е В (2)
(1 — -) '- & quot- ()
(1 -& lt-Х, -))
Из теоремы 1 непосредственно следует:
Следствие. Пусть к плюригармоническая функция из класса Харди И1 (В), причем
И е } ($и), О-удовлетворяет условию А. Зигмунда. Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) Т — действует в пространстве Лаа (Ви),
2) И Х) = И Х) + И2(X), X е ^ где И, еЛ ((Вя), И е Н~(Вп) (3)
Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть О — функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условию А. Зигмунда. Тогда необходимым и достаточным условием принадлежности /
а
классу Л является оценка
I2 (/)(.)|& lt- с (/)О (1--2), — е В (4)
(1 -1-|)
где I (/), радиальная производная функции / (см. [1], стр. 111)
Напомним определение радиальной производной.
Пусть / е Н (В) и имеет следующее однородное разложение в Вп:
/(-) = IЛ (-), тогда I (/)(-) := X/ (-), — е Вп. к=0 к=1
Доказательство леммы 1 для гельдеровских классов установлено в [1]. (см. [1], стр. 114) В общем случае основные идеи доказательства сохраняются. Поэтому доказательство мы опускаем.
Доказательство теоремы 1.
Докажем, импликацию 1) ^ 2)
Пусть Ти — является ограниченным оператором в Ла (в. Тогда для V/ е Л^, функция Т (/) принадлежит классу Лат. Положим / (-) = 1, — е Вп. Тогда
Т. (1)(- И '- -е в,
^ (1 -& lt--, Х))
Следовательно по лемме 1
В2 (Th (f)(1))(-)& lt- c -2), — e Bn (5)
Но нетрудно установить, что
«2(Гк)(1)(-) = (п + 1) п/к (^^) (6)
^ (1 — & lt-- о)
Отсюда легко следует оценка (2). Импликация 1) ^ 2) установлена. До того как перейти к доказательству 2) ^ 1) заметим, что из 1) следует, что к © = к © + к ©, С, е, где к еЛа (Ви), к е Н-(Ви) ¦ Действительно, поскольку к = / + /, где /, / - аналитические функции из класса Н1 (Ви), то
/ (с)+/ © & lt-МС)
I
= Т» (1)(-) = / (-), — е Вп
(1-& lt--, о) п
Поэтому из ограниченности оператора Тк в Ла следует, что функция / е Ла ¦ Не умоляя общности, можно считать, что / (0) = 0 ¦ Поэтому
/ (С)
I (1-& lt--. о)"-
при всех — е Вп (см. [6] стр. 25)
Остается положить к © = / ©, к © = /г ©, Се ¦ Следовательно если выполняется первое условие теоремы, то
Тк (. /)(-) = /(-)к (-) + { /©, — е Вп
I (!- & lt--, С>-)
Но так как пространство Ла — является банаховой алгеброй, то оператор М^ (/)(-) = / (-) к (-), — е Вп является непрерывным оператором в Лаа ¦ Поэтому если выполняется первое условие теоремы, то оператор
т т (г ч г/(С)к2(С)& lt-МС)
)('- 1 (1-& lt--, С""-
является непрерывным оператором в Ла ¦ Используя рассуждения приведенные в
2IIНВп)
& lt-
Т,
к
работе автора [4] легко доказать, что к е Н- (Ви) и при этом ||к
Продолжим доказательство импликации 2) ^ 1) ¦ Учитывая, что к = к, к е Н- (Вп), к (0) = 0, и используя лемму 1, достаточно оценить функцию:
*2 Т (/))(-) = (& quot- +1)& quot- Г /(С)к (С)(& lt-^йа©, — е В& quot- (к2 (1))() () (1-& lt--, с>-)"-+2 & quot-
где * - как и прежде радиальная производная функции Т^ (/). Используем равенство (см. [6] стр. 29), тогда
/ © к (С)(& lt--, С>-)2 ?а (С)= / и_[СеЮ) к {Сеш)((-, С& gt-)2 е ^
I
(1-& lt--, С& gt-)
п+2
-129
(1 — & lt--, С& gt-е"-Т
¦йв

(7)
Положим
, 1 /(?в10)И Хе1в)((-, Х))2е-20 3(-) = ^ (Х)2 (Х ^?Г-М, & lt--X) := ге*.
21−1 (1 -& lt--Х)е~1в)
Тогда из условия И2 е Нм (Ви) следует, что
1 ^ =о
-1(1 — ге 1 6))
при всех г е [0,1), / е [-1,1].
Поэтому 3 (-) = - 21
п 1(/(: е10)-/(:е-))И2(:е10)(<--:)) (- (1 — ге-1^))П+2
2 е-120
С6
Следовательно,
1
I2 Т (6))(--)& lt-(п +1) и Л
/(: е6) — / (: е)| и, (: е6) сбсст (с)
-1
1 -& lt- - X) е
-10
1И+2
& lt-
& lt-(п+1) Щи
-11м 1к 11л'-
л
-1
1 о (|ей — е10|)С6Са (С)
1 -& lt- - X) е
-10
|п+2
Заметим теперь, что
и 16 е — е
Поэтому
1 — е*
М)
& lt-
1 — ге1
& lt-/-6)
, при всех /, 0 е [-1,1], г е [0,1].
о (|е& quot- -е0|) = О (| 1 -е1 (/& quot-6)|)<- О (| 1 -ге ('-~6)|)& lt- О (| 1 -& lt--, С) е~0), поскольку О — не убывающая функция. Тогда из (9) получаем
о (| 1 -& lt- --X) е& quot-16|) С6Сст (:)
|12 (Ти (/))(-)|& lt-(п +1)п
2 11 м 1к 11л
То есть
-& gt-2
I2(Ти (/))(-)|& lt-(п +1)п||И2||Л/||л. /
м ,
о (| 1 -& lt- -. X)!) са (о
|п+2
п+2
в, I1 & quot-^ОГ
В последнем неравенстве мы снова воспользовались тождеством (7). Воспользуемся теперь неравенством:
|1 -& lt-. X>-|>- 1 -|& lt--, X) & gt- 1 -|-, при всех -^е Вп.
Поэтому в виду того, что функция
О
(/) —
не возрастает, получим
о (1 -& lt-^орО -1-|) 1 -& lt--, о| & lt- (1 --)
-, *, СеВ
п
(8)
(9)
(10)

Из оценки (10) выводим
-, z е Bn
* (Ткк /))(-)& lt-(п+1) п/ уы, Г ^ас
Теперь учитывая хорошо известное неравенство (см. [1] стр. 26),
Г йа© & lt- '-, — е В
11-& lt--, с>-Г (1−1-1) & quot-
11)
приходим к оценке:
«2 Th f))(-^
(1 -|N)
2, z е Вп.
Из теоремы 1 непосредственно следует.
Теорема 2. Пусть / еЛаа, при этом / (-) = 3^ (--), — е Вп, где -внутренняя функция, ау е Н1 (Вп). Тогда если 3 другая внутренняя функция на
которую делится J, то е Л'-
Доказательство
е
J / °° f J —
Поскольку у е H?(B), то — = ¦? = ?(z) J (z) J (z) принадлежит
/J J J
классу Харди H1 (Ви). Поэтому
F (z) fM r f О)
() J (z) J (1 -& lt-z, o)"-.
По теореме 1 F е Л^.
3. Теплицевы операторы в гельдеровских пространствах аналитических функций в односвязных областях комплексной плоскости с квазиконформной границей.
Чтобы излагать основной результат этого параграфа введем следующие обозначения.
Пусть G — ограниченная односвязная область на комплексной плоскости, п =ГГ, T = dG его граница.
Кривая Г называется квазиконформной или кривой Карлесона, если для
произвольной точки mes (rCKp (?Г)) — соР & gt- гДе ^(?Г) — КРУГ с центром в
точке О, mes — линейная мера, указанного множества, c — некоторая константа, независящая от О.
Теплицевым оператором с символом h е /Г (Г) — называется следующий интегральный оператор:
Th (fхz)-bfmh$d? zеG.
(
Класс Ла (О) определяется как в § 1. Норма в Лаа (О) вводится аналогичным
образом. Основным результатом этого параграфа является доказательство следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть О — односвязная ограниченная область в? с квазиконформной границей Г, И е } (Г), О удовлетворяет условию А. Зигмунда.
т. (/Х-)=1 I ^^ - • О
(
12)
Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Т является ограниченным оператором в пространстве Лаа (О)
2) Функция И представима в виде И (X) =. (X) +. (X), X е Г, (13) где. е Лаа (О), И2 является граничным значением некоторой функций из класса
НХ (П /С).
Доказательству теоремы предпошлем следующий вспомогательный результат (см. 11]).
Обозначим через р (-, дО) расстояние от точки — до границы дО. Лемма 2. Пусть О — ограниченная односвязная область в Ш с квазиконформной границей. Тогда если / принадлежит классу Ла, то
/(2) (-)|& lt- СОЩ, — е О ^ v р2 (-, дО),
(
14)
Обратно, если / е Н (О) и удовлетворяет оценке (14), то / - является непрерывной функцией в сиг, при этом модуль непрерывности функции / на множестве О и Г удовлетворяет оценке
{ 5 о (и) 7
О (5)& lt- с I -^-аи
0 и
(
15)
при некотором положительном сх.
Лемма 3. (см. [12], 13]) Пусть И е } (Г), 1& lt- р & lt-+м. Тогда функцию И можно представить в виде
И Х) =. Х) + И- (X), X е Г,
(
16)
где. почти всюду относительно меры Лебега совпадает с граничным значением некоторой функции Н е Е (О), а функция И2 — почти всюду совпадает с граничным значением функции Н2 е. Ер (П /(7), где Ер (Сг) и Ер (П /(7) классы В. И. Смирнова в соответствующих областях (см. [14]).
Лемма 4. (см. [12], [13]) Пусть Г квазиконформная кривая на комплексной плоскости. Тогда справедлива следующая оценка:
Г IX & lt- сМ, —, «& gt- 0
J I/- Ра
X-- & gt-е>-0 X- - 8
где с — некоторая константа, не зависящая от — и 8.
Доказательство теоремы 3 проводится по схеме доказательства теоремы 1. Сначала докажем импликацию 1) ^ 2). Пусть Тъ действует в пространстве Лаа (О). Тогда
функция Тк (1) е Ла (О), то есть
Т, (1)(-) = ^ 1 — е О
211 • X — -
принадлежит классу Лаа (О). Теперь воспользуемся леммой 3, согласно которой
И 0 =. X) + И- (X), X е Г.
Не ограничивая общность можно предполагать, что Н2 (-) = 0. Тогда из (16) легко вывести, что-то Т (1)(-) = Н (-), — е О. Поэтому Нх еЛа (О), то есть к имеет аналитическое продолжение в О, при этом к (-) = Н (-), — е О, к еЛа (О). Из
условий к е Г- (Г) и к е Ла (О) нетрудно вывести, что функция к почти всюду относительно меры Лебега совпадает с граничными значениями некоторой функции Н2 е Н '- (А7). Импликация 1) =& gt- 2) установлена.
Докажем обратную импликацию 2) ^ 1) ¦ Из представления (12) и (16) сразу следует, что если / принадлежит классу Ла (О), то
Тк (. /)(-) = / (-) к, (-) + ^ IЖМСК, — е О где /, к еЛС (О)
Так как Ла (О) является банаховой алгеброй, то оператор М^ (/) = / • к является
ограниченным оператором в пространстве Ла (О) ¦ Поэтому для доказательства теоремы 3 достаточно установить ограниченность оператора
/(С)к (С)йС
, — е о
(
17)
в пространстве где к е Н™ (? /С), к (°°) = 0 ¦ Из последних двух
условий следует, что
(/)(-) = _!_ Г/С)к (С)йС , — е О
& quot-Л 2я71 С — -
к (С)йа (С)
-= 0, V- е О
Г с--
Поэтому учитывая равенство (17) имеем
1 т (г (г / © к © йС 1 г (/ (С)-/(-)) к (С)йС
(т& quot- V)(-)) | (С-,)3 Г (С--
Следовательно
К — (. /)(-)|& lt-/к ц^СШ
Г С — -
18)
Перейдем к оценке последнего интеграла. Положим
7 (-)=!С (1С--)
Г С —
Ясно, что для произвольных — е О, С е Г, С — -| - Р (-, Г), поэтому учитывая, что ш (t)
функция--не возрастающая, получаем
Ц 1С-z) д (р (z, Г)) л
17--ГГТ'-С еГ'-z е G
С-z p (z, г)
Следовательно
2 & quot-
р (-, Г) Jг|X--
Применяя лемму 4 приходим к оценке
с (19)
^-|2 & quot-р (-, г) ()
Объединяя оценки (18) и (19) окончательно получим
|Т& lt-2>-(/)(-)|<- с-°р: р1, -е О р (-, Г)
Для доказательства теоремы остается применить лемму 2. Из теоремы 3 легко вывести следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть / е Л^ (О), причем /(-) = - (-)-), — е О. Тогда если — -
такая внутренняя функция, что — е Нм (О), то / е Лаф (О).
— -
We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the analytic Holder spaces in the ball.
Key words: unit ball, holomorphic function, Holder spaces, Toeplitz operator, radial derivative, pluriharmonic function.
Список литературы
1. A. Bottcher and B. Silberman. Analysis of Toeplitz operators. Springer — Verlag. Berlin
2006.
2. N. K. Nikolski. Tratise on the shift operator, Springer -Verlag, Berlin 1986.
3. N. K. Nikolski. Operators, Function and System. Vol. I, Hardy, Hankel and Toeplitz. Amer. Math. Soc. Mathematical Survys and Monographs. Vol. 92,2002 г, 460 pp. ,
4. Ф. А. Шамоян. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций. Известие А Н АРМ ССР, серия математика, т. 8 № 6, 1973.
5. Ф. А. Шамоян. Об одном классе операторов, связанных с факторизацией аналитических функций, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 39, 1974.
6. W. Rudin, Function theory in the unit ball of II& quot-. New York, Berlin, Springer — Verlag 1980, 438 p.
7. А. Б. Александров. Существование внутренних функций в шаре. Мат. сборник, 1982, т. 118, № 2, 147−163.
8. А. Б. Александров. О граничных значениях голоморфных в шаре функций. ДАН СССР 1983, т. 274, № 4, 777−779.
9. F. A. Shamoyan, A bounded criterion for Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces of holomorphie functions on the polydisk, Sibirian Math. Journal, Vol. 53, № 36 pp. 554−572, 2012.
10. N. Shirokov. Analytic Functions Smooth up to the boandary. Lecture Note in Math,, vol. 1312, pp. 1−215, Springer -Verlag, Berlin, 1988.
11. А. Двейрин. Теорема Харди — Литтлвуда в областях с квазиконформной границей. ДАН УССР, 1982, т. 51, № 1.
12. G. David. Operatours Integraux singulary sur cartaines courbes du plan complexe, Ann. Ski. Ecole norm. super. 1984,17, № 1.
13. Е. М. Динькин. Методы теории сингулярных интегралов. Современные проблемы математики фундаментальные направления, т. 15, стр. 197−293.
14. Г. М. Голузин Геометрическая теория функций комплексного переменного. Издательство «Наука» 1966.
Об авторе
Шамоян Ф. А. — доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского, заведующий кафедрой математического анализа БГУ, shamoyanfa@yandex. ru

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой