Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 105−119.
УДК 517. 983. 35+517. 983. 3
СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НЕГЛАДКИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
К.А. МИРЗОЕВ, Т.А. САФОНОВА
Аннотация. В работе изучаются операторы Штурма-Лиувилля, порождённые на полуоси дифференциальным выражением 1[у] = - (у'- - Ру)'- - Р (у'- - Ру) — Р2у, где '- означает производную в смысле теории распределений, а Р является вещественнозначной симметрической матрицей с элементами р^? Ь2ос (Е+) (г, ] = 1, 2,…, п). Построен минимальный замкнутый симметрический оператор Ьо, порождённый этим выражением, в гильбертовом пространстве С2п (К+). Приведены достаточные условия минимальности и максимальности дефектных чисел оператора Ьо в терминах элементов матрицы Р. Кроме этого установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора Ьо (в случае, когда элементы матрицы Р являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве 1^.
Ключевые слова: Квазипроизводная, оператор Штурма-Лиувилля, сингулярный потенциал, распределение, обобщённые матрицы Якоби, дефектные числа, индекс дефекта.
1. Введение
Наша цель — построение спектральной теории операторов, порождённых выражением вида
Ы = -(у'- - Ру)'- - р (у'- - Ру) — Р2 у, (1)
в пространстве ?^(^+), где п € N, Я+ := [0, +го), Р := (р^)П]=1 — вещественнозначная симметрическая матриц-функция, элементы которой измеримые на К+ функции, удовлетворяющие условию р^? Ь1ос (Д+), а С2п (К+) — гильбертово пространство всех комплекснозначных, измеримых п-компонентных вектор-функций, у которых сумма квадратов модулей компонент интегрируема по Лебегу на К+. Выражение (1) известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ь0 с областью определения Д0 в пространстве С2п (К+). Корректное определение этого оператора мы приведём в параграфе 2.
С другой стороны, пусть теперь '- означает производную в смысле теории распределений, а именно, как обычно под произведение производной р'- от скалярной функции р? ??2ос (Я+) на локально абсолютно непрерывную скалярную функцию ф будем понимать обобщённую
K.A. Mirzoev, T.A. Safonova, The singular Sturm-Liouville operators with nonsmooth potentials in a space of vector functions.
© Мирзоев К. А., Сафонова Т. А. 2011.
Работа поддержана РФФИ (грант 11−01−790-а) и АВЦП (проект 2.1. 1/10 641).
Поступила 14 июля 2011 г.
105
функцию р'-ф, определяемую равенством
+& lt-^
(р'-ф)(ф) = - j р (ФфУ
0
для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +то) функции ф. Далее определим произведение матрицы P'-, элементами которой являются обобщённые функции pj, на вектор-функцию y Е D0 как n-компонентную вектор-функцию P'-у, координата с номером i которой равна p'-i1y1 + pi2y2 + … + Pin Уп (i = 1, 2,…, n). Тогда в смысле теории распределений очевидным становится следующее естественное равенство: (Py)'- = P'-y + Py'-, благодаря которому оператор L0, порождённый выражением (1) в гильбертовом пространстве C2n (R+), можно трактовать как оператор, порождённый выражением
l[y] = -y'-'- + P'-y (2)
в том же пространстве.
Определение оператора L0, порождённого выражением (2) с матричным потенциалом-распределением, приведённое выше, позволяет включить его в класс операторов, порождённых квазидифференциальными выражениями с локально суммируемыми коэффициентами в пространстве C2n (R+), и таким образом позволяет строить спектральную теорию этого оператора.
Отметим, что задачи, связанные с изучением скалярного оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом короткого взаимодействия (типа ^-функции), возникли в физической литературе. Математическое исследование таких физических моделей было начато в 60-ые годы прошлого века в работах [1], [2]. Современное состояние и новые направления развития спектральной теории таких операторов изложено в монографиях [3], [4]. При этом корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка впервые, по-видимому, несколькими эквивалентными способами было дано в работах [5], [6]. Там же достаточно обстоятельно были изучены спектральные свойства таких операторов, особенно в случае конечного отрезка. При определении оператора L0, порождённого выражением (2), мы воспользовались одним из предложенных в указанных работах подходом. Отметим также, что в недавних работах [7], [8] приведён довольно подробный спектральный анализ операторов, порождённых выражением вида (2), для случая, когда n =1 и P является ступенчатой функцией с бесконечным числом скачков на полуоси.
Данная работа посвящена построению спектральной теории оператора L0, в частности, определению дефектных чисел этого оператора в терминах элементов р^ матрицы P. В теоремах 1 и 2 приводятся достаточные условия реализации максимальности и, соответственно, минимальности дефектных чисел оператора L0, а в теореме 3 утверждается, что условие максимальности дефектных чисел оператора L0 (в случае, когда элементы матрицы P являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве ln2. Приведены некоторые следствия этих теорем, построены соответствующие примеры. Отметим, что часть из полученных результатов являются новыми и для скалярного случая.
2. КвлзипроизводныЕ и квазидифференциальные операторы. Индексы
дефекта
Пусть действительнозначные функции pj (i, j = 1,2 ,…, n) — элементы матриц-функции P определены на полуоси R+ и удовлетворяют следующим условиям:
a) pij pji-
Ь) р2? Ь1(а, в) для любых а, в? Я+, т. е. р2 локально абсолютно интегрируемы на Я+? Цос^.
Определим первую квазипроизводную заданной локально абсолютно непрерывной вектор-функции у (х) = (у1(х), у2(х),…, уп (х))г (у? АС1ОС (Я+) — ?-символ транспонирования), полагая ур = у'- - Ру. Далее считая, что вектор-функция ур уже определена и локально абсолютно непрерывна, определим вторую квазипроизводную вектор-функции у, полагая уР2] := (у1р)'- + Рур + Р2у, и квазидифференциальное выражение:
1[у](х) := -ylp](x), х? я+. (3)
Отметим, что условие Ь) обеспечивает справедливость теоремы существования и единственности решений системы дифференциальных уравнений первого порядка
У'- = ЕУ,
соответствующей уравнению I [у] = 0, а из условия а) следует справедливость следующего матричного равенства:
Е = - 3−1Е*3, (4)
где матрицы Е и 3 в блочном представлении имеют вид Е := ^ р=)2 ^ '-'-= (^0 0
™ (Р -Р2 ГР т
а Е = І і р I — сопряженная матрица к матрице Е и I — здесь и везде далее еди-
ничная матрица порядка п.
Таким образом, область определения, А выражения 1[у] является множеством всех локально абсолютно непрерывных вектор-функций у на Я+ таких, что вектор-функция ур также локально абсолютно непрерывна на Я+. Теперь докажем, что справедлива следующая лемма.
Лемма 1. (формула Грина) Пусть Р — квадратная матрица порядка п (п & gt- 1), удовлетворяющая условиям а) и Ь). Тогда для любых двух вектор-функций п, ь Є А и для любых двух чисел, а и в таких, что 0 & lt- а & lt- в & lt- ж, справедлива формула
в
/ {(1[п](х), у (х)) — (п (х), 1[у](х))}йх = [п (х), у (х)](в) — [п (х), у (х)](а), (5)
где (д, К) = ^ д3К3 — скалярное произведение векторов д и К, а билинейная форма [п, ь]
в=1
определена '-равенством: [п, ь](х) := (п[1](х), ь (х)) — (п (х), ^[1](х)).
Доказательство. Пусть п, ь? А. Тогда найдётся пара вектор-функций К, д с локально суммируемыми на я+ компонентами таких, что
1[п] = д и 1Щ = К. (6)
Условия (6) можно записать в матричном виде:
и'- = ги + С и V'- = ЕУ + Н, (7)
где матрицу Е мы определили выше, а 2п — мерные вектор-столбцы и, V, С, Н имеют вид:
и := (п, п[1])*, V =: ('-У,'-У[1])*, С =: (0,1[п]У, Н =: (0,/[и])* (напомним, что квазипроизводные
определяются посредством матрицы Р).
Домножая слева оба равенства (7) на постоянную матрицу 3 (см. выше) и учитывая условие симметрии (4), получим следующие матричные равенства
(Зи)'- = -Е *3и + ЗС, (ЗУ)'- = -Е ЗУ + ЗН.
Далее продифференцируем скалярное произведение (3и, У):
(3и, У)'- = ((3и), У) + (3и, У '-) =
(-Е*3и + 30, У) + (зи, ЕУ + Н) = (30, У) + (3и, Н),
где
п ___
(3и, У) = ?^{пз } = (п, у[і]) — (п[1у) = - [п, у],
3=0
п
(30, У) = -? 13[ш]у, = -(/["], V)
3=0
и
п
(3и, Н) =? пз 3 [у] = (п, l[v]),
3=0
где 3 — і-ая компонента вектора I. Таким образом, мы доказали, что
(1[п], у) — (п, 1[у]) = [п, у].
Остается проинтегрировать полученное равенство. Лемма 1 доказана.
Благодаря формуле (5), выражение 1[у] будем называть симметрическим (формальносамосопряженным) векторным квазидифференциальным выражением второго порядка.
Через обозначим множество всех комплекснозначных финитных на (0, +ж) вектор-функций из А. С помощью таких же рассуждений, как в скалярном случае (см. [9], стр. 133), и с использованием формулы Грина устанавливается, что множество является всюду плотным в СП (Я+), и формулой Ь'-0 = 1[у] на множестве выражение I определяет симметрический (незамкнутый) оператор в СП (Я+) с областью определения0. Символами Ь0 и П0 обозначим замыкание этого оператора и его область определения соответственно. Далее, через п+ (п-) обозначим максимальное число линейно независимых решений уравнения
1[у] = ау, (8)
принадлежащих пространству С2п (Я+) при О, А & gt- 0 (ОА & lt- 0). Числа п+ и п- совпадают с дефектными числами минимального замкнутого симметрического оператора Ь0 (см. [10]), сохраняют свои значения в полуплоскостях, равны между собой и заключены между п и 2п.
Действительно, тот факт, что числа п+ и п- не могут быть меньше, чем п, доказывается так же, как теорема 2 в [11] (этот факт может быть установлен также на основании результатов С. А. Орлова [12]) — а то, что эти числа не могут быть большем, чем 2п, является очевидным.
Теперь покажем, что п+ = п-. Пусть п-компонентная вектор-функция у является решением уравнения (8), принадлежащим пространству С2п (Я+) (для определенности будем предполагать, что О, А & gt- 0). В равенстве (8) перейдем к сопряженному уравнению:
Ш =, (9)
где Аі = А и ОАі & lt- 0. Поскольку, / Цу (х)ІІ23,х = / іу (х)ІІ2 В, х, то это означает, что как
00
только у является решением уравнения (8) (с О, А & gt- 0), принадлежащим пространству СП (Я+), то у является решением того же уравнения (с ОА & lt- 0), принадлежащим С2П (Я+).
Из приведенных выше рассуждений следует, что пара чисел (п+, п-), называемая индексом дефекта оператора Ь0, может принимать одно их значений: (п, п), (п + 1, п + 1), …, (2п, 2п). По аналогии со спектральной теорией скалярных дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на полуоси, в первом из возможных случаев говорят, что для
оператора Ь0 реализуется случай предельной точки, а в последнем — случай предельного круга (см., например, [13]). При этом аналогами кругов Вейля на комплексной плоскости оказываются матричные круги на множестве вещественных симметрических матриц порядка п (см. [11]).
3. Асимптотическое интегрирование систем квазидифференциальных
уравнений
Пусть матрица Р (1) := (робладает теми же свойствами, что и матрица Р: р^ = рзг и
1 I Е& gt- (- Л — 1 О ^ о ^ л, Л1!
(pfj1)2 G Ljoc (R+) (i, j = 1, 2,…, п), а n-компонентные вектор-функции y и y^.) := y'--P (1) y определены и являются локально абсолютно непрерывными на полуоси. Перечисленные условия, как и в случае выражения l, позволяют определить симметрическое квазидиф-ференциальное выражение
s[y]:= -('& amp-. «)'- - Р (1,уЦ!,) — (PW)2y, (10)
которое определяет минимальный замкнутый симметрический оператор S0 в гильбертовом пространстве Ln (R+). Символом D0 обозначим область определения оператора S0.
Далее, рассмотрим симметрические квазидифференциальные векторные уравнения
l[y] = -(Л)'- - рУр — P2y = 0 (11)
и
Ф] = (yp1(i))'- - P (1) УЩ.) — (P (1,)2У = 0. (12)
Несложно заметить, что каждое из них эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка
У?) = (-Q2 -Eq) Ц11 • (13)
где Q = P в случае уравнения (11), а в случае уравнения (12) Q = P (1) соответственно.
Эквивалентность (11) (или (12)) и (13) понимается в том смысле, что если n-компонентная вектор-функция y является решением (11) (или (12)), то 2n-компонентная вектор-функция Y = (y^yQ) является решением (13) и наоборот, если
Y := (Y1,Y2,…, Y2n) t — решение системы (13), то y := y0 = (y°, y°,…, уП) — решение
уравнения (11) (или (12)) и
Y = I Ук• к = 1, 2,…, п
к y (yk-n)[Q, к = п +1,п + 2,…, 2п
(более подробно см., например, [14, гл. V]).
Символом T обозначим фундаментальную матрицу линейной однородной системы (13) с Q = P (1). Очевидно, что столбцами матрицы T являются 2п-мерные столбцы вида (uj, uj1])t (j = 1, 2,…, 2п), где Uj — линейно независимые векторные решения уравнения (12) (напомним, что квазипроизводные определены посредством матрицы P (1)). Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть матрицы P, P (1) и T таковы, что
/ о е& gt-(1, п
1 & lt- +оо. (14)
о
— P2 + (P (1))2 -P + P»
означает сумму абсолютных величин всех элементов матрицы
1
15)
Тогда для любых комплексных чисел а1, а2,…, а2п уравнение (11) имеет решение ф (х) удовлетворяющее условиям:
2п
ф (х) = ^2[а1 + а3 (х)]из,
3 = 1
2п
ф1р (х) = ?[а3 + а3 (х)](и3)р (1) (x),
3=1
где щ (х) ^ о при х ^ (г = 1, 2,…, 2п).
Доказательство. В системе (13) с Q = Р сделаем линейную замену
у = Тг,
где вектор-столбец г имеет вид г = (г1, г2,…, г2п) г, и продифференцируем
У'- = Т '-г + Тг'-.
Далее учтём, что матрица Т является фундаментальной матрицей решений системы (13) с Q = Р (1), а именно:
Т'- =(Р (1) 1 Т
Т = (-(р (1))2 -р^) 1
В результате указанных преобразований рассматриваемая система принимает вид:
,_1 (Р — Р (1) 0
16)
z'- = T —
-P2 + (P (1))2 -P + P (1)
Tz.
: 17)
В силу предположения (14), к системе (17) можно применить результат задачи 1.4 © из [15, гл. X, § 1, стр. 331], а именно, для любых комплексных чисел, а (1=1,2,…, 2п) система (17) имеет единственное решение, для которого справедливы следующие асимптотические формулы
/ гЛ («1 + а1(х)
z2
а2 + a2(x)
z2nl a2n + a2n (x)/
где ai (x) ^ o при x ^ +to (i = 1, 2,…, 2п).
Остаётся только учесть связь (16) между вектор-столбцом z и решением исходной системы ф. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Если дополнительно предположить, что матрица T определена при помощи начальных данных T (0) = I2n, то обратная матрица к матрице T определяется соотношением
T-1(x) = -(JT *J)(x), где I2n — единичная матрица порядка 2п, а постоянная матрица J определена в (4).
Доказательство. Прежде всего отметим, что симметрия матрицы P (1) (как и в случае матрицы P) влечёт за собой симметрию квазидифференциального выражения s[y], а именно:
F1(x) = -J-1F* (x)J, (18)
где матрица F1 и сопряжённая к ней матрица F* в блочном представлении имеют вид:
P (1) I)™ (р (1) -(р (1,)2)
F1
— (р (1))2 — р (1)
F*
I
— P (1))
Из определения следует, что
Т-1(х)Т (х) = Ьп.
Дифференцируя это равенство и учитывая тот факт, что Т является фундаментальной матрицей решений системы (13) с Q = Р (1), выразим (Т-1(х))'-
(Т-1(х))'- = -Т-1(х)Е1(х).
Далее перейдём к сопряжённым матрицам
((Т*)-1(х))'- = -^ (х)(Т *)-1(х), (19)
учтём условие (18) и положим: (Т*)-1(х) = 3Ф (х). Получим матричное дифференциальное уравнение
Ф'-(х) = Р1(х)Ф (х).
Таким образом, определённая выше матрица Ф (х) является фундаментальной матрицей линейной однородной системы (13) с Q = Р (1) и связана с матрицей Т (х) и некоторой постоянной матрицей С следующим равенством
Ф (х) = Т (х)С
(см., например, [16], стр. 82, теорема 2. 3).
С другой стороны, в силу задания матрицы Ф (х) имеем:
(Т *)-1(х) = 3 Т (х)С.
При этом дополнительное начальное условие Т (0) = 12п влечёт за собой матричное равенство С = 3−1. Таким образом, находим, что
(Т*)-1(х) = 3 Т (х)3−1.
Далее, из определения матрицы 3 следует, что 3−1 = 3* = -3. Следовательно,
(Т*)-1(х) = -3Т (х)3.
Остаётся перейти к сопряжённым матрицам. Замечание 1 доказано.
Следствие 1. Пусть справедливы условия теоремы 1. Тогда для оператора Ь0 реализуется случай предельного круга в том и только том случае, когда этот случай реализуется и для оператора Б0.
Доказательство. Пусть к,] € {1, 2,…, 2п}. В качестве постоянных а1, а2,…, а2п из теоремы 1 возьмём ак =, где Ь-символ Кронекера, и определим вектор-функции Уз,
полагая Уз = ф (х). Тогда в силу формул (15):
2п
Уз (х) = (1 + аз (х))из (х) + Е ак (х)ик (х) ,
к=1, к=з
где из (х) — линейно независимые векторные решения уравнения (12) и аз (х) = о (1) при х ^ +ТО.
Через Т (1) обозначим матрицу, 2п-мерными столбцами которой являются столбцы (Уз, (уз)р^])* (] = 1, 2,…, 2п). Непосредственные вычисления показывают, что
2п
?вгТ (1) = (1 + Е ак (х))д, еЛТ, к=1
где detT = 0. Таким образом, система векторов Уз (^ = 1, 2,…, 2п) является линейно независимой. С другой стороны, простые вычисления показывают, что
2п 2п 2п
Е1|уз ||2 = Е ||из112+о (Е ||из112)
з=1 з=1 з=1
и, следовательно,
2п
Е IV||2
lim 3--1--------= 1.
x^+те 2п
Е IU||2
3=1
Таким образом, несобственные интегралы
+те 2п +те 2п
Y. IVII2 и Г?||"31|2
0 3−1 0 3-
сходятся или расходятся одновременно. Следствие (1) доказано.
4. Примеры реализации случая предельного круга для оператора Ь0 Пусть п = 2 и, а & gt- 2, 0 & lt- в & lt- а. Определим матрицу Р (1), полагая
ха+1 хв+1
Р (1) = (7Х++1 1. (20)
0+1 а+1
Тогда дифференциальный оператор Б0, порождённое выражением в в гильбертовом пространстве ?^(Я+), можно трактовать как оператор, порождённый выражением
-у'-'- + (Р (1))'-у,
в том же пространстве С2(Я+), где (Р (1))'-(х) = (р1)'-(х) (%,] = 1, 2) — производная матрицы Р (1) (х), а однородное квазидифференциальное уравнение (12) совпадёт с уравнением
, а х
х^в х^а
Справедлива следующая лемма.
v& quot- -(% хХ) v = 0. (21)
Лемма 2. Уравнение (21) имеет четыре линейно независимых решений уз (х) (] = 1, 2, 3,4) таких, что при х ^ справедливы следующие асимптотические формулы:
X
у1(х), у2(х) ~ ф1(х)вхр ±i (sa + se)½ds,
XOx (22)
у3(х), у4(х) ~ ф2(х)ехру ±г (ва — вв)½ds,
хо
где Ф1(х) = 2(ха+Хв) ¼ (1^), Ф (х) = 2(ха-в) ¼.
Доказательство. Несложно заметить, что векторное уравнение (21) равносильно системе двух скалярных дифференциальных уравнений второго порядка
г& quot- = (хв — ха) г
(23)
?'- = -(хв + ха^,
где г = у1 + у2 и t = у1 — у2. Для уравнений (23) при х ^ хорошо известны асимптотические формулы типа Лиувилля-Грина (см., например, [17], стр. 68), а именно:
х
г1, г2 ~ (ха — хв)-¼ехр (±г [(ва —)½ds), (24)
и соответственно
X
t1, t2 ~ (ха + хв)-¼ exp (±i J (sa + se)½ds). (25)
X0
Остаётся учесть связи между z, t и y. Лемма (2) доказана.
Из асимптотических формул (22) и условий на коэффициенты, а и? можно заключить, что все решения уравнения (21) принадлежат пространству L^(R+), т. е. для оператора S0 реализуется случай предельного круга.
Пусть далее, хп (п = 0,1,…) — возрастающая последовательность положительных чисел таких, что хо = 0, lim хп = +то. Выберем произвольную точку Vk Е [хк- хк+1) и опре-
п^+те
v"+1 V?+!
делим элементы pij (х) матрицы P, полагая: р11(х) = p22 (х) = - -0+y, р12(х) = р21(х) = при х Е [хк, хк+1). Справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Пусть выполнены перечисленные выше условия и
+те
YA+1 (хк+1 — хк)2 & lt- +го, (26)
к=1
+~ х2а+1
Е (х"к ++х-)½ (хк+' - хк)2 & lt- +"• (27)
Тогда матрицы Р и Р (1) удовлетворяют условию (14) теоремы 1.
Доказательство. В силу формул (22) асимптотические формулы для матрицы Т, а, следовательно, и для матрицы Т-1 при х ^ выписываются явно. При этом, неслож-
ные, но громоздкие вычисления показывают, что из сходимости следующих интегралов следует сходимость интеграла (14)
+^ (1)
а) I 1ргз (х) — Pij (x)|dx, г, 3 = 1, & lt-2,
хо
в) +Г^^в^ох, г,. = 1, 2,
хо
_) +Г РЛ (Р11 +Р22) -р12) (р11) +р22) I 0х
I) и (ха +хв)½
хо
где хо & gt- 1.
С другой стороны, легко заметить, что при х, Ук € [хк, хк+1) и при указанном выше выборе матриц Р и Р (1) выполняются следующие неравенства
1Ргз (х) — Р (1)(х)| =) — Р (з1)(х)| ^ |Р (з1)(хк+1) — Р (1)(хк)1 & lt-
/п (х& lt-ь+1 (хк+1 — хк), г = ] (28)
^ 1(р])У (хк+1)|(хк+1 — хкр.. . ,
I хв+1(хк+1 — хк), г = ]
'-Р%(х) — (Р^)2(х) ^ 1((Р (!})2)хк+1){хк+1 — Хк)
и
, в + 1
Р12 (Р11 + Р22)(Х) — Ри (Рп + Р22))(Х) ^
оХ2"+1
(хк+1 — Хк'-), г = 3
?ХИ (29)
к+1 (хк+1 — хк), г = з
и
^ (Рп (Рп + р22))),(х к+1 Жхк+ 1 — Хк) = а++)в/++1) Ха+в+1 (Х к+1 — Хк). ()
Теперь покажем, что сходимости рядов (26) и (27) обеспечивает сходимость интегралов а), в), 7). Отметим, что сходимость интегралов а), в), 7) доказывается единообразно, поэтому ограничимся Доказательство. м сходимости интеграла а) при г = 3 = 1. Действительно,
+ ^ +^ Хк + 1 Хк+1 +^
/ р 1 1(х) — р (1{(Х)в1Х ^ Е / Ха+ 1 Хк+1 — Хк / 1& lt-1х = Е хак+ 1 (Хк+1 — Хк)2. Лемма 3
хо к=ко Хк Хк к=ко
доказана.
Таким образом, для матриц Р и Р (1) справедливо утверждение следствия 1, т. е. индекс дефекта оператора Ь0 максимален и равен (4,4).
Резюмируя выше сказанное, можно отметить, что мы построили примеры реализации случая предельного круга для оператора Ь0, порождённого квазидифференциальным выражением (1) с матрицей Р такой, что
Р (х'-& gt- =? (д 6(х -Хк (31)
где '- означает производную в смысле теории распределений, а постоянные ак, вк, 1к опре-
& lt-+1-^+11 «^+1-ив+1
деляются равенствами: ак = 7к = К а+1к+1, вк = д+1-.
Замечание 2. В качестве подходящей последовательности точек хк можно взять, например, последовательность с общим членом хк = 1п к (к = 1, 2,…)
Доказательство. Сходимость рядов (26) и (27) доказывается единообразно. Поэтому покажем, например, что ряд (26) сходится. Действительно,
+~ +~ к +1
]& gt->- а+1(хк+1 — хк)2 = ?1па (к + 1)1п2 -,
к=1 к=1
а последний ряд сходится, т.к. па (к + 1) 1п2 ~ Ы кк+1) при к ^ и ряд
+
1па (к+1). ,
Е -к2+) & lt- +^. к=1
5. Достаточное условие реализации случая предельной точки
для оператора Ь0
Через О обозначим нулевую матрицу порядка п. Как обычно, для вещественных симметрических матриц, А и В неравенство, А & gt- В означает, что для любого и Е Яп выполняется неравенство (Аи, и) & gt- (Ви, и). Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (ak, bk) С R+ (k = 1, 2,…) такая, что
1. элементы pij (i, j = 1, 2,…, n) матрицы P абсолютно непрерывны на [ak, bk ]-
2. P'-(x) & gt- O п.в. при x Е [ak, bk]-
3.
+& lt-^
? '-(bk — ak)2 = +to. (32)
k= i
Тогда n+ = n- = n.
Действительно, пусть элементы pij матрицы P удовлетворяют условиям, перечисленным в начале параграфа 2, и условиям 1−3 теоремы 2 на отрезках [ak, bk]. Тогда квазидиф-ференциальное выражение l [y] совпадает с обыкновенным векторным дифференциальным выражением (2) на отрезке [ak, bk] при фиксированном k. При этом Доказательство. теоремы 2 получается почти дословным повторением рассуждений из работы [18], которые показывают, что условия 1−3 обеспечивают справедливость утверждения этой теоремы
+ СЮ
независимо от поведения элементов pij матрицы P вне (J [ak, bk], и здесь не приводится.
k=
Пример 1. Пусть 0 =: xo & lt- x 1 & lt- x2 & lt- … и lim xk = +то. Предположим, что
k^+Ж
P (x) = Ck при x Е [xk- 1, xk), где Ck — симметрическая вещественная числовая матрица, +& lt-^
и (xk — xk-1)2 = +то. Тогда индекс дефекта оператора L0 равен (n, n).
k=1 —
Действительно, если [xk-1, xk) разделить на три равные части и в качестве [ak, bk] взять серединную треть этого отрезка, то все условия теоремы 2 будут выполнены.
6. Специальный случай оператора L0 и обобщённая матрица Якови
Пусть xk и Ck такие же, как в примере 1, т. е. xk (k = 0,1,…) — возрастающая последовательность положительных чисел таких, что x0 = 0 и lim xn = +то, Ck — симметриче-
П^-+& lt-^
ская вещественная числовая матрица, и пусть Ak = (akj)rnj=1 := Ck+1 — Ck .В это ситуации выражение (2) принимает следующую форму
+& lt-^
1[У] = -У& quot- +? Ak$(x — xk) y. (33)
k=1
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Минимальный замкнутый симметрический оператор L0, порождённый выражением (33) в пространстве Ln (R+), имеет индекс дефекта (2n, 2n) в том и только в том случае, когда все решения разностного векторного уравнения
Zk+1, +~^[Ak + (1 + ~^)I]Zk — Zk- =0, k = 1, 2,…, (34)
rk+1 rk+2dk+1 r k+1 dk dk+1 rk rk+1dk
где dk := xk — xk-1, rk+1 := Jdk+1 + dk, принадлежат пространству l2n.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка
— y& quot- +? Ak8(x — xk) y = 0. (35)
k=1
Несложно заметить, что вектор-функции и (х), п (х),.. , Ч^(х), X Е Я+, при X Е (хк-1,хк) определяемые равенствами
пгк = -1- Єі, Пг]+п =[------------------------------ Хк-і)]Єг, і = 1, 2,…, п,
?к У? к ?кУ ?к
где Хо = 0, Єі - канонический базис пространства Кп, образуют ортонормированную систему решений уравнения (35). Поэтому произвольное решение у (х) системы (35) является локально абсолютно непрерывной функцией на Я+ и при х Е (хк-і, Хк) имеет вид
у (х) = Аик (х) + АкиЦх) + … + А кпи кп (х).
Следовательно,
і Хк ,
/ ||у (х)||2?х =? ШхЖ& lt-Ь = ^{(АЙ2 + (АЙ2 + … + (А^)2}. (36)
к=Ч-1 к=1
С другой стороны, произвольное решение системы (35) является непрерывной кусочнолинейной функцией, т. е. у = Хк + Ук (х — Хк-1) при х Е (хк-1,Хк), где координаты с номером г вектор-столбцов Хк и Ук определяются равенствами
Х'-» = ~-=(. Ак -?3Л+), У'-, = ^§ Ак+п, г = 1,2,…, п.
У? к ?к
Теперь учтём условие непрерывности вектор-функции у и условие абсолютной непрерывности её первой квазипроизводной, порождённой при помощи матрицы Р, ур,] = у'- - Ру,
т. е. у (хк —) = у (хк+) = у (хк) и ур](хк-) = у[р (хк+). Поскольку у (хк-) = Хк + Ук? к, а
у (хк+) = Хк+1, то первое из указанных условий равносильно равенству:
Хк + Ук? к = Хк+1-Аналогично, второе условие эквивалентно соотношению
у'-(хк+) — у'-(хк-) = Ак у (хк)¦
Следовательно, объединяя результаты, можно заключить, что вектор-столбцы Хк и У к удовлетворяют системе уравнений
Хк + Ук? к = Хк+1 к =12
Ук+1 — Ук = Ак Хк+1, ,& quot-"-
Исключая Ук, находим, что вектор Хк удовлетворяет векторному разностному уравнению
---Хк+2 — [Ак + («1---+ ---)1]Хк+1 + -Т~Хк = 0, к = ~1, 2,~.. (37)
?к+1 ?к ?к+1 ?к
Теперь, учитывая связь между Хк, У к и Ак, заметим, что
Ак = ^№+1 + XI), Ак+п =2-|(-Х+і - Хі), і = 1,2,…, п, к = 1,2,
Из этих формул легко вывести, что
(Ак)2 + (Ак)2 + … + (Акп)2 = ?к (||хк ||2 + ||хк+і||2 + ^ хк ¦ хк+і)+
8=1
Я
+ ^(\х к||2 + ||хк+1||2 — 2 ^ хк хк+1).
8=1
Из соотношения (38) немедленно следует справедливость следующих неравенств
| {пх» ||2 + ||Хк+1||2} & lt- (л-,)2 + (л)2 +… + (л--)2 & lt- | {||Хк||2 +1|*+1||2}.
Таким образом, ряд в правой части равенства (36) сходится в том и только том случае, когда сходится ряд
^ 4 (||Х-+1||2 + ||Х- ||2) = ^1||х1||2 + ^(4 + 4+1 т+Ц2, к=1 к=1
где X- удовлетворяет векторному уравнению (37).
В системе векторных разностных уравнений (37) сделаем замену
к — гк+1Хк+Ъ в результате чего она сведётся к виду:
г к+1 г [Ак + (~^+ 2 '-)1^2к + ~г~с[~ - 0, к — 1,2,'-& quot-'- (39)
гк+22к+1 гк+1 2к 2к+1 гк2к
Умножая каждое уравнение системы (39) на —, мы приходим к симметрической си-
стеме (34).
Таким образом, любое решение у (х) уравнения (35) принадлежит пространству С- (Я+) в том и только том случае, когда любое решение Zk разностного уравнения (34) принадлежит пространству 12п. Теорема 3 доказана.
Теорема 3 утверждает, что для оператора Ь0, порождённого выражением (33), реализуется случай предельного круга в том и только том случае, когда дефектные числа разностного оператора, порождённого обобщённой якобиевой матрицей вида
л0 В0 0 0 …
ВО л1 В1 0
0 В1 л2 В2
V. …
в пространстве 12п, где Л0, В0 — произвольные квадратные вещественные симметрические матрицы порядка п, В-1 существует, а
Лк — г2~[Ак + (+ 2 Вк — - Г г 2 1, к -1,2,& quot-'-, (40)
гк+1 2к 2к+1 гк+1гк+22к+1
максимальны, т. е. равны числу п. Обобщённые якобиевы матрицы вида 3 возникают в связи с матричной степенной проблемой моментов, предложенной и развитой М. Г. Крейном (см., например, [19]), и хорошо изучены. В частности, в работах [20] - [22] установлены критерии максимальности дефектных чисел и различные признаки реализации случаев максимальности и не максимальности дефектных чисел соответствующих разностных операторов в терминах элементов матрицы 3. Применив эти признаки и теорему 3 в данной ситуации, можно получить условия максимальности и не максимальности дефектных чисел оператора Ь0, порождённого выражением (33), в терминах Ак и 4. А именно, справедливы следующие следствия.
Следствие 2. Пусть выполняется какое-либо из следующих условий:
гк+1гк+24+1 —
к=1
или
2 гі+ггк+34+А+г + / 11 ^ 11| = +^.
гк+і ак 4+1/
Тогда для оператора Ь0 не реализуется случай предельного круга.
Действительно, перечисленные условия — это результат применения теоремы 3 из [20] к элементам матрицы 3, определённым в (40), согласно которой для матрицы 3 не реализуется вполне неопределённый случай, т. е. индекс дефекта соответствующего разностного оператора не является максимальным. Тогда, согласно теореме 3, индекс дефекта дифференциального оператора Ь0 также не максимален.
Следствие 3. Пусть элементы матрицы 3 удовлетворяют следующим условиям:
4 і 4 і
I ----^- & lt- ----------1 & quot-то- или ---------------^- & gt- -1 & quot-то- для всех к = 1, 2,… ,
'-к'-к+зак"к+2 Гк+іГк+оак+і '-к'-к+з^к"к+2 ~ '-к+іГк+оак+і ' ' '
II? Гк+1 Гк+2& lt-ік+і & lt- +ж, 111? Гк+2+1+і \Ак + (ак + ?г)1II & lt- +^.
к=1 к=1 '- '-
Тогда для оператора Ь0 реализуется случай предельного круга.
Действительно, так же, как и в следствии 2, условия 1−3 — есть результат непосредственного применения следствия 1 из [22] и теоремы 3 к обобщённой якобиевой матрице 3, матричные элементы которой определены в (40).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 7. С. 1011−1014.
2. Минлос Р. А., Фаддеев Л. Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике // ДАН СССР. 1961. Т. 141. № 6. С. 1335−1338.
3. S. Albeverio, F. Gestezy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden Some exactly solvable models in quantum mechanics Springer-Verlag. 1988.
4. S. Albeverio, P. KurasovSingular perturbation of differential operators London Math. Society Lecture Rems Series. Cambridge Univ. Press. 2001. 271 p.
5. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами//Математические заметки 1999. Т. 66. В. 6. С. 897−912.
6. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями!//Труды ММО. 2003. Т. 64. С. 159−212.
7. Костенко А. C, МаламудМ.М. Об одномерном операторе Шрёдингера с 5-взаимодействиями^//Функциональный анализ и его приложения. 2010. Т. 44. В. 2. С. 87−91.
8. Костенко А. C, МаламудМ.М. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set//Journal of Differential Equations. 2010. Т. 249. P.P. 253−304.
9. W. N. Everitt, L. Marcus Boundary Value Problems and Sympletic Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differentrial Operators //AMS. Mathematical Surveys and Monographs. 1999. V. 61. P.P. 1−187.
10. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка М. -Л., Гостехиздат. 1950.
11. Биргер Е. С., Калябин Г. А. Теория кругов Вейля в случае несамосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 9. C. 1531−1540.
12. Орлов С. А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов// ДАН. 1953. T. 92. № 3. C. 483−486.
13. R.L. Anderson Limit-point and limit-circle criteria for a class of singular symmetric differential operators// Canad. J. Math. 1976. 28. № 5. P.P. 905−914.
14. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы 2-е изд., перераб. и доп. М. :Наука. 1969. 526 C.
15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения М. :Мир. 1970. 720 C.
16. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений 2-е изд., испр. М.: Издательство ЛКИ. 2007. 472 C.
17. M.S.P. Eastham The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theoreme Oxford: Clarendon Press. 1989. 241 P.
18. Серебряков В. П. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля//Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 10. С. 1732−1738.
19. Крейн М. Г. Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов//ДАН СССР. 1949. Т. 69. № 2. С. 125−128.
20. Костюченко А. Г., МирзоевК.А. Трехчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределённый случай//Матем. заметки. 1998. В. 63. № 5. С. 709−716.
21. Костюченко А. Г., Мирзоев К. А. Обобщённые якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения. 1999. Т. 33. В. 1. С. 30−45.
22. Костюченко А. Г., МирзоевК.А. Признаки вполне неопределенности, якобиевых матриц с матричными элементами//Функциональный анализ и его прил. 2001. Т. 35. В. 4. С. 32−37.
Карахан Агахан оглы Мирзоев,
МГУ имени М. В. Ломоносова Ленинские Горы, 1,
119 991, г. Москва, Россия E-mail: mirzoev. karahan@mail. ru
Татьяна Анатольевна Сафонова,
САФУ имени М. В. Ломоносова,
Набережная Северной Двины, 17,
163 002, г. Архангельск, Россия E-mail: tanya. strelkova@rambler. ru

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой