Схема струй и поправочные коэффициенты при двухфазной фильтрации

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 532. 546
С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Тарасов,
Е. Р. Бадертдинова
СХЕМА СТРУЙ И ПОПРАВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Исследована возможность построения модифицированных фазовых проницаемостей на основе схемы струй для нелинейного случая задания лабораторных относительных проницаемостей.
В работах [1,2] двумерная задача двухфазной фильтрации в слоистом пласте сводится к одномерной задаче путем введения модифицированных фазовых проницаемостей и средней К. В указанных работах проводилось осреднение по толщине пласта двумерных уравнений фильтрации двухфазной фильтрации в рамках модели Баклея-Леверетта, в которых математически были выделены относительные проницаемости линейного вида (1). Такой подход весьма проблематичен и физически, и математически. Попробуем получить модифицированные проницаемости К М (Б), К % (Б) на основе осреднения нефте- и гидропроводности К (г)КI ((х, г))/(I = В, Н) по толщине Н с учетом допущения о струйности течения. Рассмотрим подробно построение модифицированных проницаемостей К'-ё (Б),
К] (Б):
Б — Б
КМ (Б) = Кв& gt- Б (Б)], КМ (Б) = Кн, [1 — Б, (Б)], Б, (Б) = (1)
В силу того, что только в случае линейной зависимости Кв (Б), Кн (Б) при численном решении задачи двухфазной фильтрации происходит продвижение от нагнетательной галереи к эксплуатационной максимальной водонасыщенности Б [3], можно говорить
о полном вытеснении подвижной нефти в наиболее проницаемых пропластках, где Б (х, г) достигла Б, в каждом вертикальном сечении, т. е. о сильном языкообразовании. На основании этого принято допущение о струйном характере течения в [1,2], и вместо двумерной двухфазной фильтрации рассматривается струйное течение в слоистом пласте. При этом допускается, что пласт состоит из множества изолированных пропластков, однородных по горизонтали и различных по вертикали. Вода вытесняет нефть по пропласткам и движется в струях различной протяженности. При этом в пропластках с большей проницаемостью движение происходит быстрее. Поэтому в каждом вертикальном сечении пропла-стки можно объединить в две зоны: зону воды толщиной Нв, где Э (х, х) = Б*, и зону нефти толщиной Нн, где Б (X, г) = Б*.
Из этих допущений следует, что в каждом вертикальном сечении пласта можно найти абсолютную проницаемость К, такую что выполняется соотношение
Н=Нв+Н^ где Нв =2 НI, при КI & gt- К и Нн — Нj, при К1 ~ К (К-!, НI — абсо-
1 1
лютные проницаемости и толщины пропластков, I — 1, п, где п — количество пропластков в пласте).
Рассмотрим часть объема пор пласта AVв толщиной Нв и длиной Ах, где в мо-
мент времени t находится вода (S (x, z)=S). Рассмотрим также весь объем пор ДV ,
имеющий толщину H и длину ДX. При этом, очевидно, ДV = HДxm, д Vв = H в ДxmS * + (н — Hв) ДxmS., где m — пористость среды. В каждой точке х определим водонасыщенность: ^(x) = Пт Д ^ 1 [3]. Эта величина, очевидно, равна средней во-
^ДУ)
донасыщенности по толщине пласта при струйном течении в нем:
1 н
S (x) = н I S (x, z) dz
н о
С учетом вышеуказанного струйное течение в слоистом пласте будем рассматривать как одномерное двухфазное течение со средним значением K и водонасыщенностью
S (x), близкой с S (x). Для того чтобы записать уравнения неразрывности для одномерной двухфазной фильтрации, в данном случае необходимо предположить, что имеется достаточно большое количество различных пропластков в слоистом пласте, так что Нв и S (x) -непрерывные функции, что и предполагается, так как рассматривается непрерывное распределение K (z). В этих одномерных уравнениях неразрывности используем осредненные значения гидро- и нефтепроводности при допущении о струйном характере течения по пропласткам [1, 2] и выполнении соотношения Н=Нв+Нн. С учетом этого в уравнениях неразрывности используются абсолютная проницаемость
1 н
K * = - IK (г^г (2)
Н о
и модифицированные фазовые проницаемости кМ ^), K М ^), которые имеют вид
км (~ = кBг, км (§) = к Чо [1 — Sп (§)] KK: S1, (3)
Приведем вывод формул (3). С учетом соотношения Н=Нв+Нн при струйном течении имеем:
~ 1 н 1 Не 1 н"
S (X) = н I S (X, z^ = н IS+ -н I аdz,
~(х) = HвS * + Нн S. ,
н н
или в
нв. = 5(х1−31 = ^ (), н, = ЗЗх) = 1 — ?).
н S — S. пУ '- н S — а '
Далее осредняем гидропроводность К2) — Ка (в) по толщине пласта:
1 н 1 нв (1 нн
^ = н I к (х) — к в ^)х = н I к (х) — к е (¦)х + н I к (г), к е (S. =
н о н о н о
1 нв 1 нн
= н кв (* Нк (х +нн кв ^к (х.
Учитывая, что квнв + кннн = к н, где кв, кн — средние проницаемости зон воды и нефти в каждом вертикальном сечении х пласта (5), получим
] н
Так как Кв (Б,)= 0 и к в (б'-)=К"0, то, учитывая соотношение Нв/Н, имеем:
Л = Кв [ (к)-Кв (б, ]+К, (б, К •
в = [Кв (Б) Кв (Б•)]'- ] Б '-Кв илив = Кв0 [Бп (Б)]Кв •
Аналогично получим ин = К [1 — Бп (Б)]Кн.
Теперь можно записать формулы (3).
Очевидно, что используя Г (к) — плотность вероятности непрерывного вероятностного распределения функции К (і) при д & lt- К (2) & lt- Ь, имеем:
ь
К * = | кГ (к)бк- (4)
д
_ ь /Ь _ К /К
Кв (Б) = | кГ (к)& lt-3к | Г (к)бк, Кн (Б) = | кГ (к)& lt-3к | Г (к)бк. (5)
К / К д / д
При этом величину К находим по заданной водонасыщенности Б (х) (полученной в результате решения одномерной задачи с модифицированными фазовыми проницаемостями) путем численного решения уравнения
1 — Бп ()= | Г (к)3к — вероятность зоны нефти () —
Бп (~)=(~ - Б,)/(б* - Б,). (6)
Из формул (3) следует, что модифицированные проницаемости КМ (Б), КМ (Б) получаются
из линейных относительных фазовых проницаемостей Кв (в), К ((в), взятых в виде (1), путем домножения их соответственно на множители
А (~) = КвБ, В (~) = КннБ. (7)
V) к * К
Именно поэтому в работах [1, 2 и др.] исходные относительные проницаемости должны быть линейными вида (1). При этом при рассмотрении слоистого пласта, в котором К (х)
изменяется очень мало, т. е. для предельно-однородного пласта, имеем А (Б) =1, В (Б) = 1. Это происходит из-за того, что средняя проницаемость зоны воды в таком пласте примерно равна средней проницаемости зоны нефти и равна средней проницаемости самого пласта (формулы (4), (5)). Поэтому для однородного по абсолютной проницаемости пласта получаем
КМ (~ = Кв (~), КМ (~ = Кн (~), (8)
или модифицированные проницаемости совпадают с относительными. Именно поэтому при расчете на двумерных эталонах, А проницаемости КВ (б), Кн (б), были взяты в линейном виде (1), что и привело при расчете на В модели к положительным результатам, полученным в работах [1, 2] при расчете некоторых показателей разработки и процесса фильтрации.
Результаты лабораторных исследований показывают, что относительные проницаемости фаз чаще всего нелинейные функции Б — квадратичные или кубические параболы [3, 4, 5]. Использование зависимостей (3) в этих случаях не приводит, к сожалению, при численных расчетах к таким же по характеру положительным результатам. Поэтому ставится задача построить новые осредненные модели с новыми модифицированными проницаемостями КМ (Б), КМ (Б) и для нелинейного случая задания лабораторных Кв (Б), Кн (Б). Причем такие модели, модифицированные проницаемости которых в предельнооднородном пласте совпадали бы с лабораторными нелинейными проницаемостями, а для коэффициента нефтеотдачи численные расчеты давали бы нижнюю границу для множества результатов всех эталонов А, как и в линейном случае ^ - численное решение двумерной профильной задачи в слоистом пласте).
Рассмотрим случаи, когда лабораторные относительные фазовые проницаемости рассматриваемого слоистого пласта КВ (Б), Кн (Б) заданы нелинейными и имеют вид парабол:
Кв Б) = Кв0 (Б" (3))", К" (Б) = К (1 — 8"Б))'-& gt-, (а, в& gt- 1).
(9)
Если мы осредним величины К (^)К ! (Б)/л, (/ = в, н) по толщине пласта Н на основе допущения схемы струй и используем этот результат в уравнениях модели В, то сможем в них использовать среднюю абсолютную проницаемость К * вида (2) и модифицированные проницаемости КМ (Б), КМ (Б) вида (3) при любых степенях, а и в. То есть независимо от вида исходных лабораторных относительных проницаемостей — линейных или нелинейных -при таком допущении получаются одни и те же модифицированные проницаемости вида (3), полученные из линейных проницаемостей, заменяющих исходные. Это справедливо для всего семейства кривых КВ (Б), Кн (Б), заданных уравнением (9) для фиксированных КВ, К/^,
Б, Б * при а, в & gt- 1. В частности, и при, а = в = 2, а = в = 3 — квадратичных и кубических
зависимостях вида
Кв (Б) = Кв& lt- Кв (Б) = Кв,
Б — Б, Б *- Б,
Б — Б, '- Б *- Б,
, К, (Б) = К,(, К (5) = К н
Б * - Б Б *- Б,
'-5 *-5 5 *- 5,
(10)
(10)
Необходимо добавить, что квадратичные или кубические зависимости относительных фазовых проницаемостей КВ (Б), Кн (Б) рекомендуется использовать при проведении расчетов в низкопроницаемых слоях (для высокопроницаемых слоев рекомендуется использовать линейные зависимости) [3, 4, 5].
В модели в используем модифицированные проницаемости и среднюю абсолютную проницаемость. В модели С по-прежнему используются исходные лабораторные проницаемости КВ (Б), К н (Б) и средняя абсолютная проницаемость К. Рассмотрим теперь результаты расчетов с проницаемостями (10), (11).
На рис. 1 — 3 приведены графики зависимости коэффициента нефтеотдачи от прокачанных поровых объемов т](тт) при квадратичных и кубических лабораторных проницаемостях. Аналогично линейному случаю, рассмотренному в работах [8, 9], кривые эталонов
2
2
3
3
0
л
1 2 3 4 5 Тт
Рис. 1 — Графики зависимости коэффициента нефтеотдачи от количества прокачанных поровых объемов. М. закон: V = 0. 84, ТВ = 1000С, КВ, Кн- квадратичные
Л
0,6
2 3 4 5 Тт
Рис. 2 — Изотермический случай. Р. закон: V = 0. 55, КВ, Кн- кубы
А, г образуют семейство. На рисунках изображены некоторые кривые из А/, близкие к их крайним значениям снизу и сверху. Разброс между ними существенен. Хорошо видно, что
результаты расчетов по формулам (2), (3) (модель в, в которой модифицированные проницаемости (3) получены из линейных относительных фазовых проницаемостей, заменяющих исходные нелинейные, обозначим на рисунках вС) совсем непригодны даже для грубого описания семейства кривых А/, так как плохо описывают их характер изменения, а на поздних стадиях разработки даже превышают кривую модели С, которая является ограничением сверху для всех А. Поэтому и возникает задача построения новых осредненных моделей с новыми фиктивными проницаемостями. Причем таких, что в совокупности с моделью С эти модели давали бы результаты, аналогичные результатам для линейного вида лабораторных проницаемостей. Итак, необходимо построить модели, дающие граничные кривые снизу для семейства кривых эталонов А/ при расчете коэффициента нефтеотдачи п (Тт), некоторых других показателей разработки. В качестве верхней границы семейства кривых А/, как и в линейном случае, будем использовать результаты простейшей осредненной модели С. Решим эту задачу.
Попробуем построить ІКв (Б), К| (5) в виде исходных Кв (Э), К н (§), домноженных на коэффициенты (7), т. е. в виде (12). При этом будем рассуждать следующим образом. Модифицированные проницаемости вида (3) можно представить как исходные лабораторные линейные проницаемости Кв (Б), Кн (б), подправленные путем домножения на коэффициенты А (Э), В (Б). Сами же коэффициенты вычисляются на основе допущения о струйности течения с помощью формул (4) — (6). Их назовем поправочными коэффициентами [9].
По аналогии с линейным случаем и при нелинейных исходных проницаемо-
стяхКв (б), Кн (б) модифицированные проницаемости будем брать в виде нелинейных исходных проницаемостей, подправленных путем домножения на какие-то коэффициенты Аі(Б), ві(Б). Причем эти коэффициенты должны быть такими, чтобы для нефти кривая
КМ (б) была более выпуклой относительно исходной Кн (б) вниз, а для воды — вверх. То есть, должна быть полная аналогия с линейным случаем (рис. 5). Естественно, сразу же возникает самое простое решение: взять коэффициенты Аі(Б), Ві(Б) в том же самом виде, что и в линейном случае, т. е. Ах (Б) = А (Б), в1 (Б) = в (Б), после чего провести численные расчеты при исходных нелинейных проницаемостях, сравнить одномерные и двумерные решения и сделать соответствующие выводы.
Рассмотрим новые модифицированные проницаемости, которые будем использовать в уравнениях осредненных моделей вместе со средней абсолютной проницаемостью К, как это было и в осредненных моделях В и С. Модель, использующую новые модифицированные проницаемости, будем называть новой. Хотя очевидно, что все эти осреднен-ные модели являются с точки зрения гидромеханики одномерными моделями двухфазной фильтрации в рамках модели Баклея-Леверетта, но использующими различные по виду относительные проницаемости (модифицированные). Слово «модели» используем для краткости изложения материала работы.
Модель В
На основании рассуждений, приведенных выше, модифицированные фазовые проницаемости возьмем в виде
км (§) = Кв (Б)А (Б), км (§) = к"(эд§), (12)
где коэффициенты А (Б), в (Б) имеют вид (7).
Рис. 3 — Графики зависимости коэффициента нефтеотдачи от количества прокачанных поровых объёмов. Р. закон: V = 0. 55, ТВ = 100 °C, Кв, Кн- кубы
При рассмотрении предельно-однородного пласта имеем А (Э) = 1, В (Э) = 1, следовательно КМ (Э) = Кв (Э), КМ (Э) = Кн (Э). То есть новые модифицированные КМ (э), КМ (э) ос-
новываются на исходных лабораторных относительных проницаемостях Кв (б), Кн (б).
При задании Кв (~), К ((в) линейными вида (9) при а=в=1 их модифицированные проницаемости будут иметь вид (3), как и раньше [1, 2]. Обозначения: Р. закон — равномерный
закон распределения К (г), М. закон — Максвелла закон.
Для Р. закона распределения К (і) по аналогии с работой [1] легко получить зависимости
К'-в (~) = Кв (~)[1 + VS (-3 (§))], (13)
К (~) = К (~)][1 — vSБ, (§)],
Б, Б) = (§ - 3.)/(б '- - 3.) • (14)
Для экспоненциального закона модифицированные проницаемости будут иметь
вид
К'-в ()= Кв (~)|і - ІПБ, (§)]-
К (б) = К, (). 1 + 3 (§) 1п
(15)
Для М. закона расчетные формулы имеют общий вид (16), (17).
На рис. 4 приведены графики модифицированных проницаемостей воды и нефти КМ (б),
КМ (б) при Р. законе распределения слоистой неоднородности К (г) при квадратичных исходных лабораторных проницаемостях (10). Этот рисунок по взаимному расположению исходных и модифицированных проницаемостей аналогичен рис. 5.
Рис. 4 — Р. закон: V = 0. 55, Кв, Кн- квадратичные функции
На рис. 5 приведены графики К'-в (б), КМ (б) для линейного случая исходных Кв), Кн (б) (а=в=1) и для кубических парабол (а=в=3 на рис. 6) При этом КМ (б), К¦ (б) расположены относительно исходных Кв (б), Кн (б) одинаковым образом для обоих случаев. В таблице 1 приведены численные значения КМ (б), КМ (б) для трех указанных случаев задания коэффициентов а, в при М. законе.
Таблица 1 — М. закон: V=0. 84, Кв = 0. 5, Кн = 0. 7
Кв, Кн — линейные (а = в = 1) Кв, Кн — квадраты (а = в = 2) Кв, К н (а = ы б) ку 3) — = в
КМ (~ к М (~ КМ (~ К М (~ КМ (б) к М (~)
0. 30 0. 0000 0. 7000 0. 0000 0. 7000 0. 0000 0. 7000
0. 40 0. 2343 0. 3722 0. 0469 0. 2978 0. 0094 0. 2382
0. 50 0. 3585 0. 1983 0. 1434 0. 1190 0. 0574 0. 0714
0. 60 0. 4371 0. 0882 0. 2623 0. 0353 0. 1574 0. 0141
0. 70 0. 4831 0. 0237 0. 3865 0. 0047 0. 3092 0. 0010
0. 80 0. 5000 0. 0000 0. 5000 0. 0000 0. 5000 0. 0000
З*
0,6
0,5 0,4
0,3
0,2 0,1
0,3 0,5 0,7
Рис. 5 — М. закон: V = 0. 84, Кв, Кн- линейные функции
Рис. 6 — Р. закон: V = 0. 55, Тв = 100 °C, Кв, Кн- кубы
Впервые такие же по характеру взаимного расположения лабораторных и модифицированных относительных проницаемостей рисунки приведены в работах [6, 7]. Однако,
там они получены путем подгонки (подбора) результатов одномерного решения к двумерному на основе имеющихся данных истории разработки по дебитам воды и нефти, то есть решалась обратная задача. В данной же работе эти модифицированные проницаемости получены на основе лабораторных проницаемостей КМ (б), КМ (б), заданных в аналитическом виде (10), (11). Осредненная модель В использует модифицированные проницаемости, которые можно получить и на основе формул (16), (17), в которых используется функция плотности вероятности Цк) непрерывного вероятностного закона распределения К (х). Иными словами, мы опираемся на непрерывное вероятностное распределение проницаемости по толщине пласта н. Однако можно построить аналогичные модифицированные проницаемости, опираясь и на дискретное задание абсолютных проницаемостей про-пластков слоистого пласта и их толщин. В этом случае во всех используемых в расчетах формулах для проницаемостей определенные интегралы необходимо заменить символом суммирования. Осредненные модели, использующие такие модифицированные проницаемости, основывающиеся на дискретных рядах распределения, будем в дальнейшем для простоты и краткости изложения называть дискретными аналогами и обозначать В^. Рассмотрим подробно построение формул модели В^.
Модель Въ
Сначала запишем подробно формулы В модели для общего (нелинейного) случая задания Кв, Кн. В модели В используется средняя К и модифицированные КМ, КМ, которые вычисляются по формулам (12). Если учесть, что
_ К (Б)
Л (К (~)) = | М (к)бк, (16)
а
то К вМ, К М легко представить в общем виде через Л (К (Б)):
К, & amp-=М) г-ет), К, & amp-=_М~ жр. (17)
Б, (Б) К л 1 — Б, (Б) К (|/)
На практике иногда бывает достаточно трудно дискретный ряд распределения абсолютной проницаемости по пропласткам слоистого пласта (гистограмму) точно связать с каким -либо известным непрерывным вероятностным распределением. Из-за чего трудно использовать осредненные модели типа В — моделей для конкретных практических расчетов. Поэтому построим метод (алгоритм) вычисления К'-ё, К, на основе дискретного ряда К/, Н
1. По заданному К (/ = 1, п) найдем соответствующее ему ^5/, решая численно уравнение (18), относительно ^5/, где Р (Кт) — вероятность N пропластки мощности НN
(р К)=Нт).
1 — Б)= IРК). (18)
Кт йК/
Уравнение (18) — дискретный аналог уравнения (6). Оно получено с учетом допущений схемы струй, и в каждом пропластке происходит поршневое вытеснение.
по
и 1Ч1. /1Ч ч I I у ¦ ¦ Ц1ЧГ |^/ч & gt-) и I ¦ X и л I I I.
2. Вычисляем J) (= 1, п) по формуле
л (~)= I КтР (Кт). (19)
3. Вычисляем К М, КМ по формулам
К& lt- (~) = М) [х • - Л (3)], К'-(8,) = ^(§ 1& gt- т (20)
'(/) Б,(Б,) к ' л '-'- 1 -8,(3,) К '-¦ & gt-
Формулы (20) — дискретный аналог формулы (17). Итак, получены п значений ^~/ из интервала [б., б ¦] и соответствующие им К^ (б,), К, (б,). Для нахождения КМ, КМ при Б, & lt- Б & lt- Б/+1 воспользуемся линейной или параболической интерполяцией. Таким образом, КМ, КМ определены на всем интервале [б., б '-]. Уравнение (18) имеет следующий физический смысл. Решая его относительно Б, мы определяем (с учетом допущения о течении по схеме струй) какой должна быть величина водонасыщенности Б, по такому вертикальному разрезу пласта, в котором для пропластков с Кт & gt- К, находится вода и Б (х, т) = Б *, а в пропластках с К^ & lt- К находится нефть и Б (х, т) = Б.
На всех рисунках, где приведены результаты расчетов по В^ - модели для линейных и нелинейных Кв, Кн, используется линейная интерполяция. Результаты расчетов получились достаточно близкими к результатам модели В как для линейного, так и для нелинейного случаев (квадратичных и кубических зависимостей Кв, Кн). Это объясняется тем, что ряды К/, Н/ (= 1,5), используемые в расчетах, удовлетворяют либо Р. закону, либо М. закону по построению.
Кроме того, необходимо добавить, что расчеты по формулам (18)-(19) не привязаны к какому-либо конкретному вероятностному закону распределения. Поэтому результаты расчетов и выводы, сделанные по всем приведенным в работе графикам, можно рекомендовать для любого вероятностного закона распределения К (т).
В работе А. В. Богова и С. М. Зиновьева «Об оценке погрешности одной из моделей двухфазной фильтрации» [10] с помощью лабораторного эксперимента на установке в НИИММ при КГУ проведена оценка погрешности одномерной модели фильтрации с модифицированными фазовыми проницаемостями. При этом абсолютная проницаемость в слоистом пласте К (т) задавалась дискретно рядом распределения, который описывался логарифмически — нормальным законом, исходные относительные фазовые проницаемости брались линейными. В этой работе относительная погрешность при определении водона-сыщенности, коэффициента нефтеотдачи и обводненности продукта не превышала 10 -15%. Эта погрешность, в свою очередь, не превышает погрешности определения исходных данных (30%) и в некоторой степени подтверждает приемлемость математической модели струйного вытеснения. Результаты расчетов с помощью формул (18) — (20) данной работы совпадают с результатами, приведенными в работе А. В. Богова и С. М. Зиновьева, с точностью до 5%. Это еще раз подтверждает обоснованность и достоверность формул модели дискретного аналога В^. На рис. 7 приведены графики зависимостей доли воды в потоке и
коэффициента нефтеотдачи от времени разработки. Точками и сплошной линией обозначены результаты экспериментального и численного моделирования, приведенные в вышеназванной работе, пунктирной линией — результаты расчетов по модели В^ при тех же ис-
ходных данных. В ходе эксперимента в качестве грунта брались лотки с песком, вместо нефти использовали керосин.
Л ГО 0(1)
0,7
0,5
0,3
0,1
0 8 16 32 1, мес
Рис. 7 — Лабораторный и вычислительный эксперименты
Литература
1. Зиновьев С. М., Гайфуллин Р. Р. Двумерная модель двухфазной фильтрации в слоистых пластах// Прикладная математика в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во КГУ, 1976 С. 67−73.
2. Булыгин В. Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. 232 с.
3. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоитехиздат, 1963. 396 с.
4. Гиматудинов Ш. К., Борисов Ю. П., РозенбергМ.Д. и др. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. М.: Недра, 1983. 463 с.
5. Крейг Ф. Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении. М.: Недра, 1974. 192 с.
6. Кричлоу Г. Б. Современная разработка месторождений — проблемы моделирования. М.: Недра, 1979. -303 с.
7. Зайдель Я. М., Леви Б. И. Об использовании метода осреднения для решения пространственных задач двухфазной фильтрации// Известия А Н СССР, Сер. «Механика жидкости и газа». 1977. № 3. С. 71 — 75.
8. Плохотников С. П. Построение осредненных моделей двухфазной фильтрации на основе схемы струй// Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи: Сб. КФАН СССР. Физ. -техн. ин. -т. Казань, 1989. С. 63 — 71.
9. Плохотников С. П., Елисеенков В. В. Гидродинамические расчеты слоистых пластов на основе модифицированных относительных проницаемостей// Журнал ПМТФ, РАН СО. Т. 42. № 5. 2001. С. 115 — 122.
10. Исследования по подземной гидромеханике. Казань: Изд-во КГУ, 1979. С. 16−20.
© С. П. Плохотников — канд. физ. -мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ- Д. С. Плохотников — инж. кафедры педагогики и психологии КГТУ- В. А. Тарасов — канд. физ. -мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ- Е. Р. Бадертдинова -канд. техн. наук, доц. той же кафедры.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой