Внутреннекраевая задача для псевдопараболического уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 935
ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАдАЧА дЛЯ ПСЕВдОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Жемухова З. М.
ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ, Нальчик, e-mail: zhiemukhova@mail. ru
Исследована внутреннекраевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в прямоугольной области. Путем редукции к уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.
Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, внутреннекраевая задача, функция Римана, задача Гурса, уравнение Вольтерра
inside boundary value problem for the pseudoparabolic EQUATION Zhemukhova Z.M.
FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. K.M. Berbekov», Nalchik, e-mail: zhiemukhova@mail. ru
The work is devoted to the investigation of the inside boundary value problem for the pseudoparabolic equation in rectangular region. Existence and uniqueness of the solution was proved by the reduction of second sort Volterr equation.
Keywords: pseudoparabolic equation, inside boundary value problem, Riman function, Gursa problem, Volterra equation
Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].
Для модельного псевдопараболического уравнения А. М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.
1 (и)=их + ё (х *) и + (х *) их
в области D ставится задача.
Задача. Найти регулярное в области Б / решение и (х, *) уравнения (1) из класса и (х, 1) е с (о)пС1 (Б) удовлетворяющее условиям:
и (х, 0) = И (х) хе [0, Н], (2)
их (^ *) = /(0 * е[0, Т], (3)
х (ху), 4 (х *), с, (х *), ах (.
И (х) е С2 (0, Н)
а также
у& lt- 0, ё (х, *)& lt- 0
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.
Постановка задачи. Пусть
Б = {(х, *) :0 & lt- х & lt- Н, 0 & lt- * & lt- Т} конечная область плоскости переменных %у1 J1 интервал 0 & lt- * & lt- Т прямой х = х0. Для общего псевдопараболического уравнения
+ а (х, *) их +Ь (х, *) и = -д (х, *),
u (xl31) = yu (x2, t) t e[0, T ], (4)
где x1 & lt- x0 & lt- x2 — произвольно фиксированные точки из интервала 0 & lt- x & lt- H, у = const f (t) и h (x) непрерывные функции. Справедлива следующая теорема. Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям
'-, t), b (x, y), q (x, t) e C (D),
, f (t) e C1(0, T)
V (x, t) e D,
Ш УСПЕХИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ № 11, 2013 Ш
то задача (1) — (4) разре шима и притом единственным образом.
Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].
В области
В, = {(х, *) :0 & lt- х & lt- х0, 0 & lt- * & lt- T}
рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]
u (x0,0) = 9(t)
t e[0, T ], (5)
их (^ *)= /(0 * е[0, Т] & gt-
и (х, 0) = И (х) г е[0, Н ], (7)
для уравнения (1), где ф (*) — неизвестная
пока функция из класса С1 [0, Т ].
Пусть ^ (х, *- а, в) — функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:
М (w) = 0,
w (a, t- а, в) = 0, wx (а, t- а, в) = exp
J (a, ti) dti
w (х, в- а, в) = w2 (х, в) где w2 (а, в) — решение следующей задачи:
к" (х, в- а, в) + ё (х, в) w (х, в- а, в) = 0, [ w (а, в- а, в) = 0, wx (а, в- а, в) = 1,
(а в) — произвольная точка области В,.
Единственность и существование функ- дом редукции к нагруженным интегро-диф-
ции Римана х& gt-(л-,*-а, р) доказывается мето- ференциальным уравнениям [7].
Интегрируя тождество
vL (u)-uM (v) =
d d = dx ^ Vu, t + uVxt + Vux — u (V)x + auV] + dt [duV — uxVx ]
(8)
по области В, ={(х, *): 0 & lt-а<- х & lt- х0 0 & lt-* & lt-в} с учетом свойств функции Римана
w (х, *- а, в) и условий (5) — (7), получим
и (а в) = ф (в) ^ ^ в-a, в)+
х0
+|[ё (х, 0) И (х)w (х0,0-а, в)-wx (х0,0-а, в) И (х)]ёх-
0
в
-|^ (x0, в-а, в) /(*) + (x0, *)w (x0, *- а в) / (*)+
0
+ф (*)[ ^ ^ *-а, в) — х (xo, *)w (xo, *- а в)-(xo, *) ^ (xo, *- а в)+
х0 в
+а (х0, *) w (х0, *- а, в) ]} ё* + Цтг (х, *- а, в) д (х, *) ёхё*. (9)
а 0
Формула (9) дает явное представление м (у) = 0
решения задачи Гурса (1), (5)-(7).
Для нахождения неизвестной функции ф (*) по аналогичной схеме в
В2 ={(х, *): х0 & lt- х & lt- Н, 0 & lt- * & lt- Т} рассмотрим характеристическую задачу Гурса
V (, І-" т) = 0, (, ґ" т) = ехр
V (х, т-, т) = щ (х, т)
,, где щ (х, т) — решение задачи [5]:
и (Хо, Ч) = ф (Ч) Ч є[0, Т ], (10)
их (^ Ч) = ДО Ч Є[0, Т], (11)
и (х, 0) = к (х) Ч є [0, Н], (12) (Т)
уа: (х, т-, т) + ё (х, т) V (х, т-, т) = 0,
V (х, т-, т) |х== а ух (х, т-, т) 1х= =1
— произвольная точка области В2. для уравнения (1). Интегрируя тождество (9) по обла-
Пусть у (*-, т) — функция Римана, сти, = {(x, *):0 & lt-а<- х & lt-х0, 0 & lt-* & lt- в}
удовлетворяющая условиям: и пользуясь свойством функции Римана
V (х, *- а, в) получим
и (, т) = ф (*) ^ (х0,т-, т)+
т
+|{у (^ Т- т) /(*)+(х0^)w (х0,*-, т) I (*)ёх+
0
+ф (*)[ух* (х0,*-, т) — х (х0,*)у (х0,*-, т)-(х0^)ух (х0,*-, т)+
а (х{,) V (х0,*-, т) ]} ё* - |[ё (х, 0) И (х) V (х, 0-, т) —
+
Л0×0 в
-vx (х0,0-, т) И (х)]ёх + Цтг (х,*-а, в) д (х,*)ёхё*. (13)
а 0
Формула (13) дает представление реше- то на основании свойств функций Римана
ния задачи Гурса (1), (10)-(12). v (x, г-, т) и w (x,*-а, в) и условия теоре-
Тогда при выполнении условия у & lt- 0 мы, то единственное регулярное решение
теоремы, выполняется неравенство ф (*) интегрального уравнения Вольтерра
второго рода (15) из класса С1 [0, Т ] представимо в виде
(т) =wx (^т- ^ т)-Уvx (xo, т- xl, т)*0. С учетом (14), используя условие скле-
ивания (4), из соотношений (9) и (13) по- ф (т) = Ф0 (т)+)Ф0 (16)
лучаем интегральное уравнение Вольтерра о
второго рода °тност-ельн° & lt-р (т) гае К (,_ Т) _ резольвента ядра К"(1, т).
9(т)=Ф0(т)+к. (Ыф (0<-*, (15) Пмле опредаления фушщии
V/ оЧ / .) оч / V/ и (х0, *) = ф (*) формулой (16) исследуе-
мая задача распадается на две характери-где стические задачи (5) — (7) и (10) — (12) для
Л Ф (Т) шгГ-Л КМ псевдопараболического уравнения (1) един-
Ф0 =, К0 = ---. ственные регулярные решения которых да-
V V С1-,) ются соответственно, формулами (9) и (13).
Из единственности регулярного реше-
Так как с учетом гладкости известных
ния указанных характеристических задач
функций
ФпМеС1Г0,71, Кп (1,х)еС, Т] Гурсадля уравнения (1) следует справедли-
I ' ич'/ I. & gt- вость теоремы.
¦ УСПЕХИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ № 11, 2013 ¦
Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3−7].
Список литературы
1. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Когина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 852−864.
2. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 280−285.
3. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. — 2012. -Т. 48, № 8. — С. 1140−1149.
4. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино — Балкарского научного центра РАН. — 2010. — № 5. — С. 50−65.
5. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения signyym u. xx + u = 0 // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. -Ъ. 79−88.
6. Кумыкова С. К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17, № 1. — С. 81−90.
7. Кумыкова С. К., Нахушева Ф. Б. Об одной задаче для гиперболического уравнения вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 1. — С. 50−65.
8. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влажности // Дифференциальные уравнения. — 1979. — т. 15, № 1. — С. 96−105.
9. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. — 1982. — т. 18, № 4. — С. 689−700.
10. Colton D.L. On the analytic theory of pseudoparabolic equations // Quart. J. Math. — 1972. — Vol. 23. — Р. 179−192.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой