Влияние магнитного поля на взаимное выпрямление переменных токов в графене

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Д. В. Завьялов, С. В. Крючков ', Т. А. Носаева D. V. Zavyalov, S. V. Kruchkov ', T. A. Nosaeva
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ВЗАИМНОЕ ВЫПРЯМЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ В ГРАФЕНЕ1 THE INFLUENCE OF MAGNETIC FIELD ON THE MUTUAL RECTIFICATION OF ALTERNATING CURRENTS IN GRAPHENE1
*Волгоградский государственный социально-педагогический университет Volgograd State Social-Pedagogical University Волгоградский государственный технический университет **Volgograd State Technical University
E-mail: sed@fizmat. vspu. ru
Найдена постоянная составляющая тока, возникающего в графене, помещенном в постоянное магнитное поле в случае, когда на поверхность образца нормально падают две электромагнитные волны с параллельными плоскостями поляризации, в направлении, перпендикулярном векторам напряженности падающих волн.
Ключевые слова: графен, двуслойный графен, отношение частот, влияние магнитного поля, взаимное выпрямление, переменные токи.
We find a direct current component arising in graphene placed in a constant magnetic field in conditions, when two electromagnetic waves with coinciding polarization planes are incident normally to the surface of the sample, in direction transverse to vectors of electric field strength of waves.
Keywords: graphene, bias bilayer graphene, frequencies ratio, influence of magnetic field, mutual rectification, alternating currents.
Графен — новый перспективный материал изучаются экспериментально и теоретически.
наноэлектроники. Впервые он был получен в Одной из важных особенностей графена явля-
2004 году [1]. Данное открытие вызвало боль- ется неаддитивность энергетического спектра
ш°й интерес к свойствам материала, которые [2], которая приводит к взаимной зависимости
1 движения носителей заряда вдоль перпендику-
Работа поддержана Государственным научным грантом Волгоградской области. лярных друг другу направлений.
Из исследований стало ясно, что в спектре графена отсутствует энергетическая щель между валентной зоной и зоной проводимости, поэтому графен является полуметаллом. Одним из первых был получен графен на подложке 8Ю2 [5]. В отдельных случаях в спектре графена появляется запрещенная зона. В [6] сообщается о получении монослойного графена на подложке 8Ю, в спектре которого имеется энергетическая щель. Запрещенная зона возникает и в спектре двуслойного графена [7], помещенного в поперечное постоянное электрическое поле.
В работе [3] рассмотрен эффект возникновения постоянного тока под влиянием двух переменных электрических полей со взаимно перпендикулярными векторами напряженности в присутствии магнитного поля. Показано, что постоянный ток возникает только в случае, когда отношение частот падающих волн равно двум и одной второй. Получены зависимости величины постоянного тока от сдвига фаз между падающими волнами, а также от температуры.
В настоящей работе рассмотрен случай, когда векторы напряженности электрических полей сонаправлены- падающие на образец волны поляризованы в одной плоскости, а постоянное магнитное поле перпендикулярно поверхности образца.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу о взаимном выпрямлении переменных токов в графене, когда магнитное поле падает перпендикулярно поверх-носи образца, а векторы напряженности направлены параллельно друг другу. Покажем, что при определенном соотношении между частотами этих волн возможно возникновение постоянной составляющей тока в образце. Геометрия задачи представлена на рис. 1.
Будем рассматривать двуслойный графен, энергетический спектр носителей которого определяется выражением [2, 4]
^ + у / * р2 (2 + 4Д2).
(1)
Здесь p = (рх, ру) — вектор квазиимпульса- V/ «108 ст / 5 — скорость на поверхности Ферми- Д — полуширина запрещенной зоны-
«0. 35 вУ — интеграл перекрытия между слоями графена.
Спектр (1) достаточно сложный для проведения аналитических выкладок. Однако в случае, когда актуальные значения квазиимпульса р малы, можно с достаточной точностью [2] ограничиться следующим выражением, являющимся разложением (1) в ряд Тейлора:
е (ч)*Д[1 — 2У2 |ч|2
1
у 2 N4
(2)
Здесь введены обозначения: У = Д/ -
q = p V// Д- V/ «108 ст / 5 — скорость на поверхности Ферми- Д — полуширина запрещенной зоны- «0. 35 вУ — интеграл перекрытия
между слоями графена- р — квазиимпульс электрона. Малость значений импульса означает выполнение условий |ч| & lt-<- 1/У и У & lt-<- 1.
Вычисление плотности тока
Плотность тока вдоль оси У определяется стандартным образом:
л=вХv у (ч) / ^?(3)
ч
де дд
где
v у =-
Рис. 1. Геометрия задачи
Здесь Е1 = ?10сс& gt-8(со1- Е2 = Е20со8(оо^ + ф) —
напряженности электрических полей падающих волн- Н — напряженность постоянного магнитного поля- кх и к2 — волновые векторы.
дд дРу
и = {дх (Iч|2 — 2) — дУ (|ч|2 — 2) (4)
Неравновесная функция распределения / (ч, ^) является решением кинетического уравнения Больцмана, столкновительный член которого выберем в приближении постоянной частоты столкновений V. Уравнение Больцмана имеет вид:
д/'-(ч-е) + [и, К ]))(& lt-Ь е) =
де
дч
= -Y^/(q, (5)
где f0 (q) — равновесная функция распределения- Полагая F1, F2 & gt->- R, решаем уравнения
г f ] движения итерациями по R.
F = jF1cos (60)^-^^cos (9 + ф), 0& gt-- Fi= eEoivf 1®1A- В нулевом приближении по R уравнения
j J движения принимают вид:
F2 = eE02vf Iю2A- R = 2eHvf2ДIra2cf, 2- 9 = ra, t- тг f a
, '-, f dqx. = F1 cos (9,) +cos l0! + ф|- (10)
b = Vffl2- у = vIЙ1. d91 1 b | b J
Решение уравнения (4) находится методом dq
характеристик и имеет вид: = 0. (11)
9 d 91
f (q, 9) = yj d91 exp (-y (9−91)) f0(q1(91- q, 9)), (6) Решением уравнений (10), (11) являются сле--м дующие функции:
где компоненты q1 (91- q, 9) представляют собой q = q + - /9 9) + F2 g /9 9]
«q1x qx + -1g1 (91,9) +, g2 (91,9) —
решения классических уравнений движения: b
dq, = Ficos^Flcos+ ф!+ sin (9')-si& quot-(9) — Л
M'- b V b) g, (9» 9) = sin lb + ф)-sin (9 + ф'-) — (12)
+R%y (-2 + |q|) — (7) Vb J lb J
q1 y = qy. (13)
= -Rq1x (-2 + |q|2), (8) Подставляем (12), (13) в правые части (7), (8) и
d91 находим q1x, q1y в первом приближении по R.
с начальным условием и, /г, ч
J Начальные условия накладываем в форме (9).
91 =9- q1 =q. (9) Получаем:
F (91
1, ±х
-F1g1 + -f g2 + Rqy (-2+(+qy)2)+R F2qy fg1d91 +
V 9
/ f 2 91 91 f 9i f —
-г | qy fg22d91 + 2F1 (+q, qy)])d91 +2-fq2y f g2d91 + 2 °F -fq*qy f 222d9
V b /9 9 b 9 b 9
(- I / (9
q1y = qy- R I q, + -1 g + у g2)(-2+(q,+qy)2)-R -2 (q, + 2qy ] s2d 91 +
^ '- V 9
(14)
-21 (q, + 2qy) jg22d 91 + 2−1 (q, + q,) ]g1d 91 + 2 ^ qq f g2d 91 +
b J 9 9 b 9
+2F1-(+2qy+q,) { sg2d91 ±13 {a3d91 ± (V-) (1+2q,) f g22g1d91 ±12 — (2q, +1)] g12 g2d91 + V F^ JgM
9
91
9
(15)
Выбираем /0 (р) в виде функции распреде- Получаем следующее выражение для п°переч-
г ной поверхностной плотности тока:
ления Больцмана, в первом неисчезающем при- ^
ближении по напряженностям электрических ]'-у = 70 ^псо8ф+С1281иф)F12F2 Я8Ь2 +
полей F1, F2 и магнитного поля Я. Подставля-. ,..
+70 (^21 С0® 2Ф +22 2ф)2 Я ½. (16)
ем найденные выражения для компонент импульса в выражение для плотности тока (2). В (16) введены обозначения:
70 = вvfn ((^л/2У7/2ув-2у3/г)/Т11/2 (1 + вг/(V2У3/Т1))), Т1 = Т/^ -
8v (4 + V2)2 Т
ехр
У
Т
г
4тл2 Л
2д 2У2 —
дГ
д2 (-2 + д2) У3 х
г
Т
Т
-3 +
(192 + 96v2 + 12v4) —
-4 +
48У3 24У6д8 3У6д10 8У3д4 (
Т
Т2
Т2
Т
11 —
12У3 ^ УЗд6 (
Т
Т
-19 +
(62У3 24У6
3 —
Т
Т2
¦]]((+v 3)
72У

3
(17)
0,2 =1
2v (4 + v2)2 Т
ехр
У
Т
4тл2
2д2У2 —
vдъ (-2 + д2) У3 х
^_4 + 48У3 24У6д8 + 3У6д10 + 8УЗд4 ^
Т
Т2
Т2
+2д
Т
11 —
Т
Т
-19 +
72У
Т
3 Л
(62У3 24У6 ^
3 —
Т
Т2
(18)
//
4v (4 + v2)2 Т
ехр
У
Т
4тл2 Л
2д 2У2 —
д V
д3 (-2 + д2) У3 х
г
Т
Т
-3 +
8У3 Т
(12 + 24v2 + 12v4) +
-4 —
48У3 24У6д8 3У6д10 8У3д4
Т
Т2
+д21 6 +
Т2 Т 92У3 48У
-7 +
Т
Т
Т2
(v + VS)
Т
11-
72У
Т
3
(19)
022 |
2 (1 + v2)2 Т
ехр
У
Т
4тг2
2д2У2 —
д 4у
vд3 (-2 + д2) У3 х
^ 4 + 48У3 24У6д8 + 3У6д10 + 8У3д4 (
Т
Т2
Т2
Т
7 —
Т
Т
-11 +
72У
Т
3

-6 —
92У3 48У6 ^
Т
Т2
(20)
//
Графики зависимости Gij от безразмерной частоты столкновений у при V = 0. 25 приведены на рис. 2.
0.2 G22 0.3 0.4 0. 5
-2000
-4000
-60p'-0
J -з'-ооо і 1
Рис. 2. Зависимость GiJ от безразмерной частоты столкновений Y
Обсуждение результатов
Постоянная составляющая электрического тока в направлении, перпендикулярном плоскостям поляризации падающих волн, возникает в графене только в присутствии магнитного поля при отношении частот, равном двум. При El, E2 ~ 0.1 ед. СГС, H ~102 Э, ю1, ю2~1012 с-1, V -1011 с-1, T = 50 К, V = 0. 25 плотность тока Уу ~10−7А/см, что соответствует пространственной плотности тока «103 А/м2. Такие плотности тока достижимы в двуслойном графене при температурах порядка 30 К [8].
Отметим, что возникновение постоянной составляющей тока при воздействии на материал только переменных электрических полей (в частности, в случае отношения частот, равном двум), изучалось во многих работах. Одна из первых работ [9] посвящена эффекту взаимного выпрямления двух электромагнитных волн в сверхрешетке, когда плоскости поляризации совпадают с направлением оси сверхрешетки. При этом ток возникал вдоль оси сверхрешетки за счет непараболичности энергетического спектра этой структуры. Ранее эффект продольного выпрямления токов изучался в объемных полупроводниках (см., например, ссылки в [9]). В настоящей работе изучен эффект возникновения тока в поперечном направ-
лении под влиянием магнитного поля. Благодаря присутствию в выражении энергетического спектра слагаемого, пропорционального четвертой степени квазиимпульса, постоянный ток возникает и вдоль направления поляризации падающих волн. В присутствии магнитного поля возникает ток и в поперечном направлении. Причиной возникновения этого тока является эффект Холла. Похожая ситуация рассмотрена в [10], где изучен эффект Холла в режиме эллиптически поляризованной волны в графене.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Wallace, P. R. The band theory of graphite // Physical Review. — 1947. — V. 71. — P. 622−634.
2. Castro Neto, A. H. The electronic properties of grapheme / A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim // Reviews of Modern Physics. — 2009. -V. 81. — P. 109−163.
3. Завьялов, Д. В. Влияние магнитного поля на эффект взаимного выпрямления переменных токов, индуцированных электромагнитными волнами в графене / Д. В. Завьялов, В. И. Конченков, С. В. Крючков // Физика твердого тела. — 2010. — Т. 52, вып. 4. — С. 746−750.
4. Nilsson, J. Impurities in a biased graphene bilayer / J. Nilsson, A. H. Castro Neto // Phys. Rev. Lett. — 2007. -V. 98. — P. 126 801.
5. Novoselov, K. S. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films / K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov // Science. — 2004. — V. 306. — P. 666−669.
6. Zhou, S. Y. Substrate-induced bandgap opening in epitaxial graphene / S. Y. Zhou, G. -H. Gweon, A. V. Fedorov, P. N. First, W. A. de Heer, D. -H. Lee, F. Guinea, A. H. Castro Neto, A. Lanzara // Nature Materials. — 2007. — V. 6. -P. 770−775.
7. Castro, E. V. Biased Bilayer Graphene: Semiconductor with a Gap Tunable by the Electric Field Effect / E. V. Castro, K. S. Novoselov, S. V. Morozov, N. M. R. Peres, J. M. B. Lopes dos Santos, J. Nilsson, F. Guinea, A. K. Geim and A. H. Castro Neto // Physical Review Letters. — 2007. -V. 99. — Р. 216 802.
8. Ohta, T. Controlling the Electronic Structure of Bilayer Graphene / T. Ohta, A. Bostwick, T. Seyller, K. Horn, E. Ro-tenberg // Science. — 2006. — V. 313. — P. 951−954.
9. Менса, С. Взаимное выпрямление двух электромагнитных волн в сверхрешетке / С. Менса, Г. М. Шмелев, Э. М. Эпштейн // Изв. вузов. Физика. — 1988. — Т. 31. -№ 6. — С. 112−114.
10. Karch, J. Circular ac Hall Effect / J. Karch, P. Ol-brich, M. Schmalzbauer et al // E-print archives, cond-mat / 1008. 2116v1.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой