Возможности увеличения устойчивости ламинарного пограничного слоя на податливой поверхности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XVII ~ Т9~86
№ 6
УДК 532. 526
возможности УВЕЛИЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПОДАТЛИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Г. И. Горюнова, В. В. Михайлов
В плоскопараллельном приближении решена линейная задача устойчивости ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на податливой поверхности. Получены приближенные аналитические выражения, позволяющие производить целенаправленный выбор параметров поверхности, необходимых для увеличения значения критического числа Рейнольдса. Исследованы возможности подавления резонансных типов колебания поверхности.
Устойчивость ламинарного пограничного слоя на податливой поверхности исследовалась в ряде работ [1−4]. Однако в них, как правило, изучался лишь один вид неустойчивых возмущений — волны Тол-мина-Шлихтинга [2, 4] или использовалось достаточно схематичное задание свойств податливой поверхности [1, 2]. Исключение составляет работа [8], где рассмотрена податливая поверхность типа использованной в экспериментах Крамера [9] и на основании результатов расчета сделаны определенные выводы о влиянии характеристик податливой поверхности на устойчивость слоя.
Целью настоящей работы является получение приближенных аналитических выражений, описывающих два вида неустойчивых возмущений несжимаемого пограничного слоя на податливой стенке мембранного типа. Эти выражения должны обеспечить целенаправленный поиск ¦оптимальных параметров поверхности при проведении строгих численных расчетов. Они могут оказаться полезными и при оценке возможностей увеличения устойчивости ламинарного пограничного слоя.
Для определения степени точности полученных выражений результаты приближенных вычислений сравниваются с точными численными решениями уравнения Орра-Зоммерфельда для случая податливой стенки. Все приближенные и численные расчеты проведены Г. И. Горюновой.
1. Метод расчета. В приближении плоскопараллельности течения рассмотрим устойчивость ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости к малым моногармоническим возмущениям.
Введем обозначения: р — плотность газа- и$ - скорость на
внешней границе пограничного слоя- 8* - толщина вытеснения- 2т: ^
и cUb — длина волны и фазовая скорость возмущения- t/t/5 — скорость основного течения- а = 8*Д — волновое число- uUi и vaUs — продольная и поперечная скорости возмущений- p? Ut-возмущения давления- fkjUb — время- хк, уЬ*- координаты вдоль поверх-лости и по нормали к ней.
В качестве исходной системы уравнений для возмущений используем соотношения, полученные в работе [5] путем линеаризации уравнений Навье-Стокса [при а& lt-0(1) эти уравнения обладают той же точностью, что и уравнения Орра-Зоммерфельда]:
W2z'- -*-/?=- ie3(W~)& quot-'--, a*Wx + 8'- = 0. (1. 1)
Здесь e3 = (aRe)-1- Re = ?/o8*/v (v — коэффициент кинематической вязкости) — W-U — с- т = (v/ W) exp (- i I) — R — - ip exp (- ify- % = x — ct- штрихами обозначены соответствующие производные по у.
Введем также индекс «в» для обозначения параметров на податливой поверхности (параметров возмущенного течения при у = 0).
Тогда, пренебрегая продольными перемещениями поверхности* ,(UB + uB = 0), для краевых условий системы (1. 1) получим:
0- т-& gt-0 при у со- | ^
X = V, ,'-в = 0. при у = 0. J
Первые два условия означают затухание возмущений при у-*-оо, условие хв=0 следует из допущения t/B + uB = 0 и уравнения неразрывности, если учесть соотношения
UB = - uB = ayB ув = i тв exp (i). (1. 3)
Здесь, а = UB.
Примем, что значение ?& lt-1. В это: м случае, полагая вне пограничного слоя [где у& gt-1, но в масштабах слоя у=0(1)] значение W= 1-с, можно получить два затухающих фундаментальных решения (1. 1), пропорциональных ехр (-лу) и ехр[- е-3/2 (1- с)½ 2~½ у]. Пренебрегая при 1-с = 0(1) вторым решением, получим следующее асимптотическое решение системы (1. 1) при у оо:
г=ехр (- а у) R = a (1-с)2 exp (- ay). (1. 4)
Асимптотическое решение системы (1.1.) для профилей U{у) без точки перегиба (и& quot-Ф0 при у& gt-0), соответствующее Re-& gt--oo, получено в работах [5, 6]. Эти решения не позволяют определить значение критического числа Рейнольдса Rec, при котором наступает потеря устойчивости пограничного слоя. Построим приближенный метод расчета, позволяющий найти значение Rec. Используя идеи метода Толмина, представим решение (1. 1) в виде суммы решений Двух систем уравнений:
+#! = () — «2 VP 2 т,+/?,'- = () — (1. 5)
H7* -С2 = - / е* (W г2у& quot- (Я2 = 0). (1. 6)
* Вопрос о правомерности такого допущения рассмотрен в п. 2.
Решение (1. 5) имеет-особую точку при 0 (и = С), где необходимо учитывать влияние вязкости. В пределе е-„-0 это влияние сказывается появлением „скачка фазы“ — возникновением мнимой части решения Т1 при переходе от ]Р& gt-0 к Ж& lt-0 [6]:
Atj----------iRc
Ф = те ас
юз
(1. 7)
Здесь и далее индексом с будем обозначать параметры в критическом слое (при Ш=0, и = с).
Очевидно, что, используя лишь одно решение (1. 5) (полагая ^г^О), в общем случае нельзя удовлетворить краевым условиям
(1. 2), даже исключив условие Хв = 0, т. е. не рассматривая вязкий пристеночный слой. Этот вывод следует из соотношений (1. 5), которые показывают, что 1 т х1 возрастает по модулю при изменении у. от^. до нуля. В частности, (1. 5) не может дать решение для жесткой стенки (тв = 0), если Д ф 0 (ис Ф 0). т- е- профиль не имеет точки перегиба. Следует отметить также, что решение (1. 6) можно использовать лишь в случае а& lt-0(1) (условие /?2 = 0) при & lt-С | (и^х2у& quot-|. Рассмотрим решение (1. 5) для некоторых частных форм профиля и (у).
Для случая линейного профиля
W = a (y-yc) имеем решение
#1 = (1 ± W) ехр (+ а у) — • - -L exp ('-+ ay),
Выберем профиль вида
U7 = (l — с)
exp (7^-)-l] [ехр (-^) + 1
(1. 8)
(1. 9)
Для этого профиля получим Rx
+ а (1-с)2^ 1 ± W -j-) ехр (-|- ау) —
1
1V^'тlexp (+“: У,¦
(1. 10)
Однако ни один из рассмотренных профилей не дает достаточно правдоподобную аппроксимацию реального профиля W, поскольку линейный профиль не сращивается при г/-& gt--оо с W^-l-с, а профиль (1. 9) не может обеспечить выполнение, на поверхности тела условия WB=-c при с& gt-½. Поэтому выберем „составной“ профиль W.
W = a (y-yc) при 0& lt-у<-ус)
, v/ Л 1Ъа (у — ус) ИГ /2 а (у-ус) 1−1
W = (-с) ехр (------)-1| | ехр (
1 — С)
При у & gt- у,
1 — с
1
(1. 11)
При этом профили сопрягаются вместе с первыми и вторыми производными при У = Ус-
Фундаментальные решения (1. 8), (1. 10) используем соответственно при 0& lt-г/<-г/с и г/& gt-ус. Для у& gt-ус выбираем убывающее решение и краевые условия (1. 4). При у = Ус производим стыковку решений (включая производные).
В результате получим для вещественной части решения ас№д /.
Я
1 Г '-¦
1 + кд
И ехр (- ау) +
+
2 (1 + кд) д _
+
V? / 1Г
1 — - 9) ехР (а-У~2?) — ^ + Т *7 ехр
с№ д
Т1 г ^ (1+^)П7 ехр аУ) +
[ехр (а у — 2#) — ехр {-лу) ].
2(1 + кд) дф
(1. 12)
Здесь & amp- = (1 — с)/с- я = (а с)/а- _у & lt- _ус.
Мнимую часть решения (при. у<-. ус) строим, используя „скачок фазы“ (1. 7) [где /?с определяется из (1. 12) при 1^ = 0, аУ = я] и фундаментальные решения (1. 8):
Яи =
ас№
2(1 + кд)
ск 2
2 (1 +
Ф [ ехр (ау — 2д) — ехр (- О. у)].
(1. 13)
Значения /?1 В, XI в на податливой поверхности вычисляем из
(1. 12), (1. 13) при у = 0, и7= - с. Применительно к решению задачи с учетом влияния вязкости [уравнения (1. 15), (1. 16)] полученные выражения можно упростить, учитывая, что в этом случае при е& lt-1 скачок фазы должен быть мал, т. е. х1-& lt-^1. Для этого необходимо, чтобы, а & lt- О (1), 1- с = 0(1) (для профилей и (у), соответствующих пограничному слою, Ф -» оо при с -& gt- 1). Тогда из (1. 13) будем иметь ^ I = О (а3), X! I = ?2& lt-? Ф + О (а?). Окончательно, используя (1. 12), получим
в — а (1 -с)г --0 (а2) —
XI в = 1 — а
(1-с)2
(тЬ + '-ф) + 0(а2) —
X! в -- /?!/С2 = - а к?.
(1. 14)
Здесь в скобках (1/(1 — с) + гФ) мы пренебрегли дополнительно слагаемым 1 /& amp-2~с2, поскольку из второго уравнения (1. 14) О © & lt- О (а), иначе XI в = 1.
Решение (1. 6) получим для линейного профиля Н7-, вводя замены
Г = (у — ус) г-1 а1/3 = - (у — ус) агв1с — гв — - се-1 а~2/3 — с = аус, а = хг.
(1. 15)
Тогда, обозначив индексами г соответствующие производные по г, получим
го" + Зог — г& gt-а = 0. (1. 16)
3 — «Ученые записки» № 6 33
(1. 17)
В качестве краевых условий примем
о 0 при г-* оо, о = 1 при г = гв.
Уравнение (1. 16) сводится к уравнению Бесселя от мнимого аргумента. Решения могут быть представлены через функции Ханкеля. На рйс. 1 показаны найденные подобным образом выражения Аг/гв, Аг/гв, где Аг и Аг равны:
А,
(гв) = Не | ос? г- Аг (гв) = 1 т | з йг.
(1. 18)
Краевое условие в-И2 В = 0 будет удовлетворено при х2 В = ак? с учетом (1. 14). Тогда, нормируя решение (1. 18), получим
+ (1Л9)
гв гв)
Окончательно, суммируя Т1 и -Гг, можем записать:
в 4 Ь-с гв гя} ' [. (1. 20)
/? = а (1 — с)2- а Не а2 (-гв/с)3.
Последнее выражение получено из связи е и гв (1. 15).
В случае жесткой стенки (тв = 0) из (1. 20) следуют соотношения:
k'-2 q 1 — с г.
1 _ 1 Лг
(1. 21)
Решение (1. 21) для случая функции Ф, соответствующей профилю Блазиуса (штриховая линия), сравнивается с численным решением уравнения Орра-Зоммерфельда на рис. 2.
2. Устойчивость на податливой поверхности. Решение с учетом влияния вязкости. В линейном приближении поперечное и продольное смещения податливой поверхности могут рассматриваться независимо. Примем следующее модельное уравнение для движения поверхности по нормали:
Здесь — Я, 4 — безразмерные коэффициенты, связанные с соответствующими размерными параметрами, определяющими упругость щ, величину демпфирующего сопротивления л2, эффективную поверхностную плотность п3, натяжение единицы длины п4:
Аналогичные уравнения использовались ранее в работах [4, 7]. В работе [8] в левой части подобного уравнения удерживалось дополнительно слагаемое а’к%ъд'кув/дхк, учитывающее жесткость поверхности на изгиб, а в правой части — реакция заполненного жидкостью или газом зазора между податливой поверхностью и основанием. Так как h5~ (Az//6*)3, указанными слагаемыми можно пренебречь при достаточно малой толщине Ау мембранной поверхности и достаточно большой величине зазора. Такая поверхность будет обладать и существенно большей податливостью в поперечном направлении, чем в'- продольном. Ввиду этого можно принять, что продольные смещения мембраны относительно малы и справедливо условие (1. 2) тв -0. Отметим, что расчеты, проведенные в работе [4], показали незначительное влияние продольных смещений на число Re потери устойчивости даже при сравнимых значениях податливости поверхности в поперечном и продольном направлениях.
Подставляя в (2. 1) значения ув = - iiB exp (it) и рв = = i, а (1 — с)2 exp (/1), получим
(2. 1)
X, = щ 8* (рС/!)& quot-1 — X, = я2 (pi/a)& quot-1- *8 = «з (р5*)-ь,
}.4 = я4(р Ulb*)-1.
(2. 2)
Из (2. 3) и (1. 20) будем иметь
(2. 4)
Введем следующие величины:
a = JL (l_c)2 /_J--------±i
ас VI- с гв
ас (Х4 — с2 Х3)
ас
N.
(1 — су
1 — с
±'-
Гв
1
с Х2
А
/•в
(1-е)2
(2. 5)
Тогда (2. 4) можно записать в виде
Ф +
(ЛІ + «2 ЛГ2)2 + а2 Л?2
А
Г в
(2. 6)
1 — а
¦¦ Nt 4& quot- ®2 А2
в& quot-
iVx + a N2
a Re = а2 (- гв/с)3
Предположим, что демпфирование настолько мало, что в (2. 6) можно положить Л^з = 0. Тогда будем иметь
Ф = -
= ЛГ1 + а*Л/2, а Re = а2 (- гв (с)3-
а ас (1 -с)-2 [1/(1 — с) — Лг/гв]
1-і
(2. 7)
Соотношения (2. 7) переходят в соотношения (1. 21) для жесткой стенки при а=1. При этом зависимость с = с (гв) в (1. 21) и (2. 7) одна и та же. Таким образом, значение, а для податливой стенки отличается в, а раз от значения для жесткой, а число Re соответственно в 1/а раз при тех же значениях с. Следовательно, основной задачей увеличения устойчивости является выбор таких Ni и N2, при которых достигается минимальная величина, а вблизи c=cmax (вблизи значения Rec).
Кубическое уравнение для, а (2. 7) позволяет сделать определенные выводы о возможностях увеличения Rec. Во-первых, сумма корней этого уравнения а1+а2+аз= 1. Следовательно, при действительных корнях аи нельзя добиться увеличения Rec более чем в три раза. Во-вторых, при конечных Nz и достаточно малых Ni одно из решений (2. 7) имеет вид
aА + 0(М) ¦
(2. 8)
Поэтому при выборе N2, обеспечивающем существование одного действительного решения, и Л1& lt-С1 мы должны заметно увеличить значение Rec. _
Для существования одного действительного значения, а достаточно выполнить одно из двух условий:
N,& gt-1/8 или 0& lt-ЛГ2<-27/8. (2. 9)
Учитывая (2. 8), предпочтительнее выполнить второе условие (2. 9).
Из вида функций Ф [соотношение (1. 7)], а также Лг/гв (см. рис. 1) и соотношения (2. 7) следует, что для профилей и (у) без точки перегиба (и& quot- & lt-0) значение с может изменяться лишь в некотором диапа-
зоне стах& gt-с>-0. Если во всем этом диапазоне выполнено второе условие (2. 9), то область неустойчивости, ограниченная решением (2. 7) [а = а (Ие)] должна быть односвязной и существовать до как угодно
больших чисел Ие (Ре-& gt--оо при с-& gt--0), что соответствует гв-э-----ОО или
Гв-& gt--Г*, где Лг (г*) =0. Условие (2. 9) для N2 может нарушиться для некоторых конечных значений с. В этом случае могут возникнуть (при малых значениях А^) два новых действительных корня а, что должно привести к образованию некоторой новой замкнутой области неустойчивости.
Сравнение соотношений (2. 6) с численными расчетами (рис. 3) подтверждает эти выводы. Следует, однако, отметить, что принятое допущение может оказаться несправедливым даже при как угодно малых значениях демпфирования (Ы3ф0), если значение достаточно мало.
Рис. з
В этом случае в первом соотношении (2. 6) слагаемое с N3 будет существенным при Ы1& lt-.0 (N3). Кроме того, возможно существование
и других решений уравнений (1. 1), которые могли быть потеряны введением ряда допущений (в частности, из-за ограничений а& lt-0(1), 1-с = 0(1)). Рассмотренный выше тип колебаний будем в дальнейшем для краткости называть модой Толмина.
3. Резонансные решения. Рассмотрим решение (1. 1) при как угодно больших числах Йе, считая, что случай а& lt-С1, 1-с = 0(1) нами уже изучен. Тогда при а& gt-0(1), с& lt-1 поправки на трение уже не могут существенным образом изменить решение и мы приходим к задаче о «невязкой» неустойчивости. Подставляя в (2. 1) выражения ув и рв, даваемые соотношениями (1. 1), (1. 3), получим
Яг в = Аг тг в 11 в, | (3 1)
/?/ в == ТI в Лг- ТГ в.)
Значения /?в и тв будем вычислять с помощью выражений (1. 12),
(1. 13).
Предположим, что демпфирование мало (Лг& lt-С1) и в уравнениях (3. 1) можно пренебречь членами А{. Тогда из (3. 1) следует линейная зависимость вещественных и мнимых частей решения при у = 0. Однако соотношения (1. 12), (1. 13) показывают, что такая зависимость может быть лишь в пределе при а-Ю. Отсюда следует вывод: решения (3. 1)
(если они существуют) должны зависеть от величины демпфирования даже при малых значениях А* и по этой причине могут быть названы резонансными.
Сделанный вывод, очевидно, не связан с приближенным заданием профиля №(у). Зто следует из того, что фундаментальные решения
(1. 1) линейно независимы (достаточно сравнить их при -с), а пе-
реход через критический слой со «скачком фазы» требует введения в решение (при и& quot-с =^0) второго, растущего при у-^-оо фундаментального решения. Исключение, естественно, составляет профиль с точкой перегиба, когда возможно использование одного фундаментального решения (при и& quot-с =0, Ф = 0).
Удерживание в уравнениях (3. 1) членов с демпфированием, при Яг в, /?1В& gt-0(1), требует при А,--* 0, по крайней мере, одного из предельных переходов: а оо- с 1 (с & lt- 1). При этом согласно
(1. 12), (1. 13), (2. 3) АГ*» & gt-А/хгв| и соотношения (3. 1) принимают
вид
Яг в -- Аг хг в -|- Ад- Т- в — 1 Су.
/?/в = А, Т/В (А, «1). /
Подставляя в эти уравнения значения Аг, А», хг и т* из (2. 3), (1. 12),
(1. 13), получим после преобразований
______к ф = ехр (2?). Q_.
с [1 — ехр (2& lt-7) ]2 а
А = _L [Xl _ а2 (с2 X, — Х4) ] = q — 1 — - 2q
ас ас 1 — ехр (2iq)
(3. 3)
При Хг-Ю соотношения (3. 3) имеют два предельных решения для, а и с. Первое соответствует с-& gt- 1, так что Ф-«-оо и -X2& lt-I>- = const& gt-0. При этом q~ а/а и второе соотношение (3. 3) позволяет вычислить значение а:
— [Xj — a2 (Х3-Х4)] = ^ - 1--------------^-------- - I
a 1 1 '- 3 4/J 1 — ехр (2?*) (3. 4)
с ~ 1, & lt-7^ -.
Второе предельное решение (3. 3) при Л2 осуществляется при -ФА2& lt-С1. При этом и уравнения (3. 3) преобразуются к виду
_ А ф = -е*Р-(-^----------(ехр (2д) «1) — ]
с [1 — ехр (2^)]3 4 Н}// & gt-'- (3. 5)
с2^Х4/Х3. ]
Значение а^& gt-1 вычисляется из первого уравнения (3. 5). Резонансные решения (3. 4), (3. 5) ограничивают область неустойчивости течения при больших числах Re и Аг-^О.
Уравнение (3. 4) при Лз& gt-А4 имеет одно решение, так как стоящая справа функция от монотонно растущая. Уравнение (3. 5) также имеет одно решение, если ехр (2q) & gt-1 (& lt-7>-0). Определим условия, при которых решения (3. 4), (3. 5) не существуют. Из (3. 5) следует, что для этого необходимо, чтобы А4& gt-Аз. Но при Я4& gt-Хз уравнение (3. 4) может
иметь два решения, ограничивающие область неустойчивости. Перепишем (3. 4) в виде
— Х* = («. — - 1 — Л) ^= Р ш • (3. 6),
Функция /^ (^^) имеет максимум При некотором значении & lt-7* -Ятях, если? ы& gt-0. При уменьшении Я, 1 величина /*'(& lt-7шах) растет монотонно, достигая значения, равного (За)-1 при1 = 0, когда & lt-7шах=0.
Таким образом, достаточным условием отсутствия резонансных решений можно считать неравенство
Х4 -Х3& gt-(За)-1. (3. 7)
Для проверки правильности сделанных качественных выводов на рис. 4 сопоставлены результаты численного расчета резонансных ре-
,-0,03'С, 3=& lt-(8,5\^9,3
шений (сплошная линия) с асимптотическими приближенными решениями (3. 4), (3. 5) (пунктир). Значения, а для «верхней» кривой нейтральной устойчивости (с = 0,46) отложены на оси ординат слева, а для «нижней» (с= 1,0) — справа. Отметим, что значения с, полученные из асимптотического и численного решений, совпадают, по крайней мере, до второй значащей цифры.
4. Оценка возможностей увеличения устойчивости течения в пограничном слое. Одним из главных требований для увеличения устойчивости течения на податливой поверхности должно быть отсутствие резонансной моды колебаний, коэффициент нарастания которой не уменьшается с увеличением числа Ие. Согласно (3. 7) необходимым условием этого, например, для профиля Блазиуса (а"*0,57), будет
(4. 1)
Существенное увеличение устойчивости моды Толмина может быть достигнуто выбором малых значений коэффициента упругости поверхности (А1& lt-С1) при условии справедливости неравенства (2. 9) для N2
/(с)--
27
-) & gt- - с"Хз& gt-0.
гк
(4. 2)
Поскольку функция /© положительна, а значение Аз& gt-0, то из (4. 1) и
(4. 2) следует, что податливая поверхность должна иметь натяжение? i4& gt-0. Но в связи с тем, что значение с ограничено сверху величиной, которая меньше единицы (для профиля Блазиуса стах = 0,41), одновременное выполнение (4. 1) и (4. 2) возможно лишь при значеиях Х4 и (кз порядка нескольких единиц, так как f (cmax) «0(1). Оценивая поверхностную плотность, из (2. 2) при Яз5^ 1 для характерных при движении в атмосфере р"1 кг/м3, 8*& lt-0,01 м получим п3& lt-10 г/м2. Очевидно, что создание столь легких поверхностей — задача чрезвычайно сложная.
Еще один путь подавления резонансных колебаний — увеличение демпфирования (коэффициента Яг) без выполнения условия (4. 1). Однако при этом согласно (2. 6) должны увеличиваться значения с (гв), что приводит к уменьшению значения Rec моды Толмина.
В случае движения в воде (р» 103кг/м3) обеспечение условий (4. 1),
(4. 2) может быть достигнуто уже при реальных значениях n3& lt-10 кг/м2. Отсюда следует, что применение податливых поверхностей для целей увеличения областей ламинарного течения перспективно, в основном, для случая движения тел в жидкостях.
В заключение отметим, что полученные результаты относятся к случаю устойчивости течения к малым плоским возмущениям, распространяющимся по направлЬнию основного потока. Однако так же, как и в случае жесткой поверхности, решение допускает преобразование типа преобразования Сквайра при переходе к рассмотрению возмущений, движущихся под углом 0 к направлению Us. При этом все выводы остаются в силе, если в использованных соотношениях заменить U8 на Us cos0 (при изотропном натяжении «4 поверхности).
ЛИТЕРАТУРА
1. Benjamin Т. В. Effects of a flexible boundary on hydrodynamic stability. — J. Fluid Mech., 1960, vol. 9.
2. Land ah 1 М. T. On the stability of a laminar incompressible boundary layer over a flexible surface. -J. Fluid Mech., 1962, vol. 13, p, t. 4.
3. Скрипачев В. В. Устойчивость ламинарного пограничного слоя на деформируемой поверхности мембранного типа. — ПМТФ, 1969, № 6.
4. Короткин А. И. Устойчивость ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости на упругой поверхности. — Изв. АН СССР,
МЖГ, 1966, № 3.
5. М и х, а й л о в В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.
6. L i п С. С. On the stability of two-dimensional parallel flows. Pt. 3. Stability in a viscous fluid. — Quart. Appl. Math., 1946, vol. 3, N 4.
7. Бабенко В. В. Основные характеристики гибких покрытий и критерии подобия. — Бионика, 1971, вып. 5.
8. Carpenter P. W., Garrad A. D. The hydrodynamic stability of flow ower Kramer type compliant surface. Pt. I Tollmien — Schlich-ting instabilities. — J. Fluid Mech., 1985, vol. 155.
9. Kramer M. O. Boundary layer stabilization by distributed damping.- J. Aeron. Sc., 1957, vol. 24.
Рукопись поступила 2/VII 1985 г.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой